O problema consiste em calcular a transformada de Laplace da função g(t) dada, utilizando a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de  [tex]g(t) = $e^{2t} + 3t^3 - \frac{t^2}{2}$.[/tex] é dada por:  [tex]$Lg(t) = \frac{1}{s-2}+\frac{18}{s^4}-\frac{1}{s^3}$[/tex].

Transformada de Laplace.

A transformada de Laplace é uma técnica matemática que permite transformar uma função de uma variável no domínio do tempo em uma função no domínio da frequência complexa. Ela é amplamente utilizada na análise de sistemas lineares e equações diferenciais, simplificando sua resolução. A transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por

• [tex]$L[f(t)](s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt$[/tex]

Vamos aplicar a definição da transformada de Laplace na função

• [tex]$g(t) = e^{2t} + 3t^3 - \frac{t^2}{2}$[/tex]
• [tex]$L[g(t)](s) = \int_0^{\infty} e^{-st} \left(e^{2t} + 3t^3 - \frac{t^2}{2}\right) dt$[/tex]
• [tex]$L[g(t)](s) = \int_0^{\infty} e^{-st} e^{2t} dt + \int_0^{\infty} e^{-st} 3t^3 dt - \int_0^{\infty} e^{-st} \frac{t^2}{2} dt$[/tex]

• [tex]$L[g(t)](s) = \int_0^{\infty} e^{t(2-s)} dt + 3 \int_0^{\infty} t^3 e^{-st} dt - \frac{1}{2} \int_0^{\infty} t^2 e^{-st} dt$[/tex]

A primeira integral

• [tex]$\int_0^{\infty} e^{t(2-s)} dt=\frac{1}{s-2}$[/tex]  .

A segunda integral

• [tex]$3 \int_0^{\infty} t^3 e^{-st} dt=\frac{3 \cdot 3!}{s^4}=\frac{18}{s^4}$[/tex]

A terceira integral

• [tex]$\frac{1}{2} \int_0^{\infty} t^2 e^{-st} dt=\frac{\frac{1}{2} \cdot 2!}{s^3}=\frac{1}{s^3}$[/tex]

Portanto, a transformada de Laplace de

• [tex]$g(t) = e^{2t} + 3t^3 - \frac{t^2}{2}$[/tex]

é dada por:

• [tex]$Lg(t) = \frac{1}{s-2}+\frac{18}{s^4}-\frac{1}{s^3}$[/tex]

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