26. Sabendo que p(x) = 2x⁴ - 5x³ + 2x² - 2ax - 25 é divisível por q(x) = 2x² + x - 5, calcule o valor de a.
Resolução passo a passo de preferência em anexo as respostas..
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Vamos lá.Veja, Popeye, que a resolução é simples.
Note que quando um polinômio P(x) é divisível por um outro polinômio Q(x), então a divisão de P(x) por Q(x) deixará resto zero.
No caso, pede-se o valor do coeficiente "a", sabendo-se que P(x) é divisível por Q(x), a saber: P(x) = 2x⁴ - 5x³ + 2x² - 2ax - 25 e Q(x) = 2x² + x - 5
Então vamos efetuar a divisão de P(x) por Q(x) pelo método tradicional.
2x⁴ - 5x³ + 2x² - 2ax - 25 |_ 2x² + x - 5_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x² - 3x + 5 <---- quociente
-2x⁴-x³ + 5x²
----------------------------
0 - 6x³+7x² - 2ax - 25
..+6x³+3x² - 15x
------------------------------
.....0+10x² - 2ax-15x - 25
......-10x² - 5x............+25
-------------------------------
........0 -2ax-15x-5x...0 <---- Veja que o resto deu "-2ax-15x-5x". Como o resto tem que ser zero, pois P(x) é divisível por Q(x), então vamos tomar o resto e vamos igualá-lo a zero. Logo:
-2ax - 15x - 5x = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
- 2ax - 20x = 0 ----- Apenas para facilitar, vamos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos:
2ax + 20x = 0 ---- agora vamos colocar "x" em evidência, ficando:
x*(2a +20) = 0 ---- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:
ou
x = 0
ou
2a+20 = 0
2a = - 20
a = -20/2
a = -10 <--- Esta é a resposta. Ou seja, como P(x) é divisível por Q(x) , então é porque o coeficiente "a" é igual a "-10"..
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
2x⁴-5x³+2x²-2ax-25÷2x²+x-5=x²-3x+5
-2x⁴-x³+5x²
___|-6x³+7x²-2ax-25
0__|+6x³+3x²-15x
___|____10x²+(15-2a)x-25
________|-10x²_____+25
_________| 15-2x
resto : 15-2ax
-2a+15=0
-2a=-15
a=-15/-2
a=15/2
espero ter ajudado!
boa noite!