Equação Exponencial → A)3ˣ⁻¹ + 3ˣ⁻² = 28 B)2ˣ⁺³ = 2ˣ⁻² + 62 C)3ˣ⁻¹ 3ˣ + 3ˣ⁺¹ = 13/27 Com calculo →.... Pergunta de ideia deSrTrindade

TesrX

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Olá.

Para responder e desenvolver essas expressões, vamos usar algumas propriedades de potências,

PROPRIEDADES DE POTÊNCIAS

Multiplicação de potências com a mesma base. Quando há uma multiplicação de potências com a mesma base, seguimos a regra: manter a base e somar o expoente.

Para visualizar melhor, segue um exemplo:

$\mathsf{a^r\cdot
a^s=a^{r+s}}$

O contrário também pode ser feito:

$\mathsf{a^{m+n}=a^m\cdot
a^n}$

Divisão de potências com a mesma base. Quando há uma divisão de potências com a mesma base, seguimos a regra: mantemos a base e subtraímos o expoente.

$\mathsf{\dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}}$

O contrário também pode ser feito:

$\mathsf{a^{q-w}=\dfrac{a^q}{a^w}}$

Aplicando as regras citadas, vamos aos cálculos.

QUESTÃO A

Temos a expressão:

$\mathsf{3^{x-1}+3^{x-2}=28}$

Aplicando a regra de divisão de potências da mesma base, teremos:

$
\mathsf{3^{x-1}+3^{x-2}=28}\\\\\mathsf{\dfrac{3^x}{3}+\dfrac{3^x}{3^2}=28}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3^x}{3}+\dfrac{3^x}{9}=28}$

O MMC de 3 e 9 é 9, logo, podemos igualar os denominadores das frações.

$\mathsf{\dfrac{3^x}{3}+\dfrac{3^x}{9}=28}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3\cdot3^x+3^x}{9}=28}$

O 9 pode ser levado para o 2° membro, mas multiplicando, pois a operação é invertida quando troca de membro.

$\mathsf{\dfrac{3\cdot3^x+3^x}{9}=28}\\\\\mathsf{3\cdot3^x+3^x=28\cdot9}\\\\\mathsf{3\cdot3^x+3^x=252}$

No primeiro membro, é possível observar que temos o 3ˣ duas vezes, onde um está sendo multiplicado por 3. Para simplificar, podemos colocar o 3ˣ em evidência.

$\mathsf{3\cdot3^x+3^x=252}\\\\\mathsf{3^x\cdot(3+1)=252}\\\\\mathsf{3^x\cdot(4)=252}$

O 4 pode ser levado para o 2° membro, mas dividindo, pois o sinal é invertido.

$\mathsf{3^x\cdot(4)=252}\\\\\mathsf{3^x=\dfrac{252}{4}}\\\\\\\mathsf{3^x=63}$

Usando apenas as propriedades de potências, não temos mais o que fazer. Todo modo, podemos continuar a calcular usando logaritmos;

Para resolver em logaritmos usamos a forma:

$\mathsf{log_b~x=y,~~~b^y=x}$ , onde:

b: base;

x: logaritmando;

y: logaritmo.

Basicamente, podemos dizer que o logaritmo é o expoente que está no número igual a base. Esse número pode ser obtido através da fatoração do logaritmando. Contextualizando em nosso caso, teremos:

log₃ 63 = y

Vamos fatorar 63, para saber quais números o compõe:

$\begin{array}{llll}63&|&3\\21&|&3\\7&|&7\\1&|&=&3^2\cdot7\end{array}$

Usando o valor que obtemos fatorando, podemos adicioná-lo no cálculo do logaritmo.

log₃ 63 =

log₃ (3² • 7)

Podemos dividir essa expressão em dois, pois o logaritmando está fatorado e com seus componentes sendo multiplicados entre si. Teremos:

log₃ (3² • 7) =

log₃ (3²) + log₃ (7)

Para o primeiro cálculo de logaritmo, temos o valor de y:

$]\mathsf{log_b~x=y,~~~b^y=x}\\\\\mathsf{log_3~(3^2),~~\boxed{\mathsf{3^2=9}}}$

Substituindo o valor de log₃ (3²), teremos:

log₃ (3²) + log₃ (7) =

2 + log₃ (7)

2 + log₃ (7) é a forma final do desenvolvimento da expressão dada.

QUESTÃO B

Temos a expressão:

$\mathsf{2^{x+3}=2^{x-2}+62}$

Primeiro, vamos passar o $\mathsf{2^{x-2}}$ para o primeiro membro, só que subtraindo, pois a operação é invertida. Teremos:

$\mathsf{2^{x+3}=2^{x-2}+62}\\\\\mathsf{2^{x+3}-2^{x-2}=62}$

Podemos colocar um termo em evidência, que no caso é o $\mathsf{2^{x-2}}$ e continuar a desenvolver. Vamos aos cálculos:

$
\mathsf{2^{x+3}-2^{x-2}=62}\\\\\mathsf{2^{x-2}(2^{x+3}/2^{x-2}-\dfrac{2^{x-2}}{2^{x-2}}=62}\\\\\mathsf{2^{x-2}(2^{x+3-(x-2)}-1)=62}\\\\\mathsf{2^{x-2}(2^{x+3-x+2}-1)=62}\\\\\mathsf{2^{x-2}(2^{3+2}-1)=62}\\\\\mathsf{2^{x-2}(2^{5}-1)=62}\\\\\mathsf{2^{x-2}(32-1)=62}\\\\\mathsf{2^{x-2}(31)=62}$

Passando o 31 para o segundo membro, mas dividindo, pois o sinal deve ser invertido.

$\mathsf{2^{x-2}(31)=62}\\\\\mathsf{2^{x-2}=\dfrac{62}{31}}\\\\\mathsf{2^{x-2}=2}$

Temos de igualar os expoentes.

$\mathsf{2^{x-2}=2^1}$

Podemos separar o cálculo do x:

x – 2 = 1

x = 1 + 2

x = 3

O valor de x é 3.

QUESTÃO C

O valor de x é -2. (resolução em anexo)

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.

Bons estudos.

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TesrX Tô mó frustrado com isso.

TesrX Gastei um tempão fazendo e não posso postar a resposta completa. '-'

Alissonsk :c

Alissonsk Caberia se você diminuísse a explicação, mas tá dentro dos padrões. :v

SrTrindade Perfeito

TesrX Tem muitas explicações que são "bobas", né? haha

TesrX Mas coube, na base do anexo deu certo. XD "Quem não tem cão, caça com gato de qualquer jeito".

Alissonsk Sua explicação foi excelente haha. xD

SrTrindade Man perfeita explicação. Já da pra ser professor só para explicar esse assunto.

gabrieldhllm721 Perfeito

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