1² + 2² + 3² + ... n² = n * (n + 1) * (2n + 1)/6com: n ≥ 1N = k prove por indução que : (N = k + 1)p.... Pergunta de ideia deJhonyudsonbr

robertocarlos5otivr9 $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Seja $n=1$ a base, temos:

$1^2=\dfrac{1(1+1)(2+1)}{6} \iff 1=\dfrac{6}{6} \iff 1=1$

A base está correta, válida.

Digamos que seja verdade até $n=k$ , vamos provar que vale para $k+1$ .

Precisamos provar que

$1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

Sabemos que $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ , substituindo:

$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

$\dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

Colocando $n+1$ em evidência no primeiro membro da igualdade:

$\dfrac{[n+1]\cdot[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}~(i)$

Veja que

$n\cdot(2n+1)+6(n+1)=2n^2+n+6n+6=2n^2+4n+3n+6$ , pois $n+6n=4n+3n$

E $2n^2+4n+3n+6=2n(n+2)+3(n+2)=(2n+3)(n+2)$

Substituindo em $(i)$ obtemos:

$\dfrac{[n+1]\cdot[(2n+3)(n+2)]}{6}=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$

Que é verdade, provando o que queríamos

9 votes Thanks 13

jhonyudsonbr obrigado Roberto ajudou muito amigo!! :)

robertocarlos5otivr9 ^^

Lista de comentários

Alguém ajuda por favor estou em dúvida entre (A) e (B) como faz???

Alguém ajuda por favor estou em dúvida entre A e B

Alguém ajuda por favor estou em dúvida entre a opção A opção B

Alguém ajuda por favor eu sei por onde começar porém parece está faltando informação...

Séc 21 progresso ou regresso? porque? redação dissertativa argumentativa dêem idéias de parágrafo de introdução por favor!!

Alguém me ajuda nas questões 1 e 4 por favor já tentei de todas as maneiras que eu sei e não consegui aí eu postei essas questões aqui e apagaram minhas questões dizendo que falta ilustração mas não tem mais ilustração que isso é uma questão de matemática e ponto...

Não estou consegui interpretar. alguém ? com cálculos por favor.(gabarito: 24 garrafas)

(1999998).(1999998)-(1999996).(2000.000) =??com resolução por favor!!

O natural (n) para o qual => (10^12+2500)² - (10^12-2500)²= 10^ncom resolução por favor!!

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