Vamos resolver as questões passo a passo:

17)

a) Efetue a operação:

2 + √3 / 1 - √5 + 2 - √3 / 1 + √5

Para facilitar a simplificação, vamos racionalizar os denominadores, que é o processo de eliminar raízes do denominador. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

1º termo:

2 + √3 / 1 - √5

Multiplicamos o numerador e o denominador por (1 + √5), que é o conjugado de (1 - √5):

(2 + √3)(1 + √5) / (1 - √5)(1 + √5)

Agora, para realizar a multiplicação dos termos no numerador, usamos a propriedade distributiva:

= (2 + 2√3 + √15) / (1 - √5 + √5 - √25)

Note que √5 * √5 = 5:

= (2 + 2√3 + √15) / (1 - 5)

= (2 + 2√3 + √15) / (-4)

2º termo:

2 - √3 / 1 + √5

Multiplicamos o numerador e o denominador por (1 - √5), que é o conjugado de (1 + √5):

(2 - √3)(1 - √5) / (1 + √5)(1 - √5)

Agora, para realizar a multiplicação dos termos no numerador, usamos a propriedade distributiva:

= (2 - 2√3 - √15) / (1 - √5 - √5 + √25)

Note que -√5 * √5 = -5:

= (2 - 2√3 - √15) / (-4)

Juntando os termos:

(2 + 2√3 + √15) / (-4) + (2 - 2√3 - √15) / (-4)

Agora, somamos os numeradores, mantendo o mesmo denominador:

= (2 + 2√3 + √15 + 2 - 2√3 - √15) / (-4)

Note que os termos com √3 e √15 se cancelam:

= (4) / (-4)

Agora, simplificamos dividindo numerador e denominador por 4:

= -1

Resposta a): -1

b) Efetue a operação:

1 / 1 - √2 - 1 / √2 + 1

Para facilitar a simplificação, vamos racionalizar os denominadores, multiplicando-os pelo conjugado do denominador.

1º termo:

1 / 1 - √2

Multiplicamos o numerador e o denominador por (1 + √2), que é o conjugado de (1 - √2):

1 * (1 + √2) / (1 - √2) * (1 + √2)

= (1 + √2) / (1 - √2 + √2 - 2)

Note que √2 * √2 = 2:

= (1 + √2) / (-1)

2º termo:

1 / √2 + 1

Multiplicamos o numerador e o denominador por (√2 - 1), que é o conjugado de (√2 + 1):

1 * (√2 - 1) / (√2 + 1) * (√2 - 1)

= (√2 - 1) / (√2 + √2 - 1 - 1)

= (√2 - 1) / (2√2 - 2)

Agora, juntamos os termos:

(1 + √2) / (-1) - (√2 - 1) / (2√2 - 2)

Agora, para somar essas frações, precisamos ter o mesmo denominador. O denominador comum é 2√2 - 2:

= [(1 + √2)(2√2 - 2) - (√2 - 1)(-1)] / (2√2 - 2)

Agora, realizamos as multiplicações:

= (2√2 + 2 - 2√2 + 2 - √2 + 1) / (2√2 - 2)

Note que os termos com √2 se cancelam:

= (3) / (2√2 - 2)

Agora, fatoramos o denominador:

= 3 / [2(√2 - 1)]

Agora, para racionalizar o denominador, multiplicamos o numerador e o denominador por (√2 + 1), que é o conjugado de (√2 - 1):

= 3 * (√2 + 1) / [2(√2 - 1) * (√2 + 1)]

= (3√2 + 3) / [2(√2 + √2 - 1 - 1)]

= (3√2 + 3) / (4√2 - 2)

A expressão não pode ser mais simplificada, pois não há fatores comuns entre o numerador e o denominador.

Resposta b): (3√2 + 3) / (4√2 - 2)

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Do utilizador

1/√2 +1/√18-1/√8

ChatGPT

Para simplificar a expressão 1/√2 + 1/√18 - 1/√8, vamos primeiro encontrar o denominador comum.

O denominador comum para √2, √18 e √8 é √(2 * 18 * 8) = √(288) = √(144 * 2) = 12√2.

Agora, vamos reescrever cada termo com o denominador comum:

1/√2 = (1/√2) * (√2/√2) = √2/2

1/√18 = (1/√18) * (√18/√18) = √18/18 = √(9 * 2)/18 = (3√2)/18 = √2/6

1/√8 = (1/√8) * (√8/√8) = √8/8 = √(4 * 2)/8 = (2√2)/8 = √2/4

Agora, a expressão fica:

√2/2 + √2/6 - √2/4

Para adicionar ou subtrair frações, elas devem ter o mesmo denominador. Neste caso, o denominador comum é 12:

(6√2 + 2√2 - 3√2) / 12

Combine os termos semelhantes:

5√2 / 12

Portanto, a forma simplificada da expressão é 5√2 / 12.

Resposta: 17a) E = 4 + √15;     b) E = -2√2;     18) E = 5√2

                                  4                                                   12

Explicação passo a passo: Vamos resolver a racionalização pelo método do conjugado e, separadamente.

a) (2 + √3) . (1 + √5) = 2 + 2√5 + √3 + √15 = 2 + 2√5 + √3 + √15  (1)

    (1 - √5)(1 + √5)                   1² - √5²                             4    

(2 - √3)(1 - √5) = 2 - 2√5 - √3 + √15 = 2 - 2√5 - √3 + √15   (2)

(1 + √5)(1 - √5)            1² - √5²                          4

Somando (1) e (2), teremos uma soma de frações de mesmo denominador:

2 + 2√5 + √3 + √15 + 2 - 2√5 - √3 + √15    junta os termos iguais

                           4

E = 4 + √15

          4

b)      1.(1 + √2)     = 1 + √2  = -1 - √2   (1)

    (1 - √2)(1 + √2)    1² - √2²

     1.(√2 - 1)     = √2 - 1   = √2 - 1   (2)

 (√2 + 1)(√2 - 1)   √2² - 1²

Subtraindo (1) e (2):

-1 - √2 - (√2 - 1)

-1 - √2 - √2 + 1

E = -2√2

18) Temos uma soma de frações com radicais onde devemos racionalizar o denominador.

1   . √2 =   √2      =   √2   = √2 = √2

√2   √2    √2.√2      √2.2   √4      2

1    . √18 = √2.3²    = √2.√3² = 3√2 = 3√2 = √2

√18  √18    √18.√18    √18.18     √324      18       6

1    . √8 = √4.2   =  √4.√2 = 2√2   = 2√2 = √2

√8   √8    √8.√8    √8.8       √64         8        4

Agora calculamos a expressão:

√2 + √2 - √2 = 6√2 + 2√2 - 3√2 = 5√2

 2      6      4                 12                    12