Através do método de Briott-Ruffini, concluímos que a soma dos quadrados das duas raízes procuradas será p² + q²  = 26/9.

Para entender melhor a resposta, considere a explicação abaixo:

Dispositivo prático de Briott-Ruffini

A regra de Briott-Ruffini é utilizada para realizar divisões de polinômios e encontrar raízes de polinômios que possuem grau acima de 3. Para isso, escrevemos os coeficientes do polinômio e colocamos uma de suas raízes à esquerda.

Em seguida descemos o primeiro coeficiente e multiplicamos a raíz por este primeiro coeficiente, colocando o produto embaixo do segundo coeficiente. Este produto é somado com o segundo coeficiente e repetimos isso com todos os coeficientes até encontrar o resto 0.

Os números encontrados na última linha serão os coeficientes de um polinômio de 1 grau menor que o polinômio de entrada.

Passo a passo:

Considere o polinômio 9x³-31x-10=0 como sendo  9x³ + 0x² - 31x - 10 = 0.

O enunciado nos disse que uma de suas raízes é 2.

Portanto, temos:

     9   l    0   l    -31   l   -10

2         l   18   l    36   l    10

     9   l   18   l     5    l     0

Temos então um polinômio de grau 2:

9x² + 18x + 5 = 0, e então utililzamos fórmula de Bháskara para encontrar as raízes:

[tex]9x^{2} + 18x + 5 = 0~~~\to ~~~x=\dfrac{-18\pm\sqrt{18^{2}-4\cdot 9\cdot 5 } }{2\cdot 9} ~~~\to ~~~\dfrac{-18\pm12}{18} \\ \\ \\ \\ \boxed{p=\dfrac{5}{3} ~~~~e ~~~~ q=\dfrac{1}{3}}[/tex]

Agora basta calcular:

p² + q² =

(5\3)² + (1\3)² =   25\9  +  1\9    = 26\9

Portanto, a soma dos quadrados das raízes é p² + q² = 26/9.

Aprenda mais sobre Briott-Ruffini em:

https://brainly.com.br/tarefa/840214

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De acordo com as aplicações de Girard, o valor de p² + q² é 26/9, alternativa B.

Função

Uma função é uma relação entre dois conjuntos A e B chamados de domínio e contradomínio, respectivamente. As aplicações de Girard para uma função do terceiro grau do tipo ax³ + bx² + cx + d = 0 são:

• r1 + r2 + r3 = -b/a
• r1·r2 + r1·r3 + r2·r3 = c/a
• r1·r2·r3 = -d/a

De acordo com o enunciado, temos que a equação é dada por 9x³ - 31x - 10 = 0 e suas raízes são p, q e 2, logo:

a = 9, b = 0, c = -31, d = -10

Teremos as seguintes equações:

1. p + q + 2 = 0
2. pq + 2p + 2q = -31/9
3. 2pq = 10/9

Da primeira e terceira equações:

p = -2 - q

pq = 10/18

Substituindo:

(-2 - q)q = 10/18

q² + 2q + 10/18 = 0

Resolvendo por Bhaskara, encontra-se q' = -1/3 e q'' = -5/3.

• Para q = -1/3

p = -2 + 1/3 = -5/3

• Para q = -5/3

p = -2 + 5/3 = -1/3

Logo:

p² + q² = (-1/3)² + (5/3)² = 1/9 + 25/9 = 26/9

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