Resposta:

Letra E.

Explicação passo a passo:

Seja [tex]f[/tex] a função de [tex]A[/tex] em [tex]B[/tex] definida por:

[tex]\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,para\,\,\,x < 1\\ x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,para\,\,\,x \geq 1 \end{array} \right. \][/tex]

onde [tex]A, B \subset \mathbb{R}.[/tex]

Analisemos cada uma das afirmações propostas.

b) A função f não é contínua em x = 1.

Falso.

Calculemos o valor de [tex]f(1):[/tex]

Como [tex]1 \geq 1,[/tex] então [tex]f(1) = 1.[/tex]

Calculemos os limites laterais em torno de [tex]x = 1:[/tex]

[tex]\lim_{x \to 1^+} f(x) = x = 1[/tex]

[tex]\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 = 1[/tex]

Como [tex]\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x),[/tex] segue-se que [tex]\lim_{x \to 1} f(x)[/tex] existe e é igual a 1.

Portanto, como [tex]f(1) = \lim_{x \to 1} f(x),[/tex] conclui-se que [tex]f[/tex] é contínua em [tex]x = 1.[/tex]

c) O conjunto domínio da função f são todos os números reais positivos.

Falso.

O domínio de [tex]f[/tex] é o conjunto de todos os números reais, pois, para todo [tex]x \in \mathbb{R},[/tex] existe [tex]y \in \mathbb{R}[/tex] tal que [tex]f(x) = y,[/tex] bastando-se tomar [tex]y = x,[/tex] quando [tex]x \geq 1,[/tex] ou [tex]y = x^2[/tex] quando [tex]x < 1.[/tex]

d) O conjunto imagem da função f é [-1, +∞[.

Falso.

O conjunto imagem de [tex]f[/tex] compreende todos os números reais não negativos, isto é, [tex]Im_f = \left[0, +\infty\right[,[/tex] um vez que [tex]x = \pm \sqrt{y}[/tex] só é definido em [tex]\mathbb{R}[/tex] para [tex]y \geq 0.[/tex]

e) Os limites laterais de f em torno de x = 1 são iguais.

Verdadeiro.

Conforme calculamos no item "b" acima, [tex]\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1.[/tex]