A área é encontrada calculando a integral definida da função no intervalo dado. A integral é resolvida aplicando as regras de integração, resultando em 18 u².

Integral

Para encontrar a área sob a curva da função [tex]\(y = 9 - x^2\)[/tex] entre x=0 e x=3, precisamos calcular a integral definida da função nesse intervalo.

A integral da função [tex]\(y = 9 - x^2\)[/tex] em relação a x é dada por:

[tex]\[ \int_{0}^{3} (9 - x^2) \, dx \][/tex]

Para encontrar essa integral, vamos aplicar as regras de integração:

[tex]\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \][/tex]

onde C é a constante de integração. Agora, ao integrar 9 em relação a x, obtemos 9x:

[tex]\[ \int 9 \, dx = 9x + C \][/tex]

Ao integrar -x² em relação a x, obtemos [tex]\(-\frac{x^3}{3}\)[/tex]:

[tex]\[ \int -x^2 \, dx = -\frac{x^3}{3} + C \][/tex]

Portanto, a integral definida que precisamos calcular é:

[tex]\[ \int_{0}^{3} (9 - x^2) \, dx = \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} \][/tex]

Agora, substituindo o limite superior (3) na expressão:

[tex]\[ 9 \cdot 3 - \frac{3^3}{3} \][/tex]

[tex]\[ = 27 - 9 \]\\\\[/tex]

[tex]\[ = 18 \][/tex]

A seguir, substituindo o limite inferior (0) na expressão:

[tex]\[ 9 \cdot 0 - \frac{0^3}{3} \][/tex]

[tex]\[ = 0 \][/tex]

Agora, subtraindo o resultado do limite inferior do resultado do limite superior para obter a área sob a curva:

[tex]\[ \text{Área} = 18 - 0 = 18 \][/tex]

Como a área é 18 unidades quadradas (18u²), a resposta correta é:

[tex]\[ c) \, 18u^2 \][/tex]

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