Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f (x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:
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✅ Tendo finalizado os cálculos, concluímos que a integral definida - área da região limitada pelo gráfico da função e o eixo horizontal do plano no intervalo considerado - é igual a:
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{A} = \Bigg| \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(2x)\,dx\Bigg| = 1\:u.\:a.\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, a opção correta é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa~B\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Seja a integral dada:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \end{gathered}$}[/tex][tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(2x)\,dx\end{gathered}$}[/tex]
Observe que a função a ser integrada é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = \sin(2x)\end{gathered}$}[/tex]
E o intervalo dado é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\textrm{I} = [0, \pi/2] \end{gathered}$}[/tex]
Sabendo que a integral definida desta função no referido intervalo é numericamente igual à área da região limitada pelo gráfico da função e o eixo horizontal, e para isso, devemos obter o módulo da integral definida da função no referido intervalo, ou seja:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\textrm{A} & = \Bigg| \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)\,dx\Bigg|\\& = \Bigg| \left[-\frac{\cos(2x)}{2} + c\right]\Bigg|_0^{\frac{\pi}{2}}\Bigg|\\& = \Bigg| \left[-\frac{\cos\left(2\cdot\frac{\pi}{2}\right)}{2} + c\right] - \left[ -\frac{\cos(2\cdot0)}{2} + c\right]\Bigg|\\& = \Bigg| \left[-\frac{\cos(\pi)}{2}+ c\right] - \left[-\frac{\cos(0)}{2} + c\right]\Bigg|\end{aligned} $}[/tex]
Continuando a resolução, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}\textrm{A} & = \Bigg| -\frac{(-1)}{2} + {\!\diagup\!\!\!\!c} + \frac{1}{2} - {\!\diagup\!\!\!\!c}\Bigg|\\& = \Bigg| \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\Bigg|\\& = \Bigg| \frac{1 + 1}{2}\Bigg|\\& = \Bigg| \frac{2}{2}\Bigg|\\& = |1|\\& = 1\end{aligned} $}[/tex]
✅ Portanto, a integral definida é igual a área que pode ser representada por:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \textrm{A} = \Bigg| \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(2x)\,dx\Bigg| = 1\:u.\:a.\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]