partie A :

2°) le point O est le centre du Cercle circonscrit au triangle BAC , les 3 droites proposées sont les médiatrices du triangle BAC .

3°) vecteurs :

MB + MC = MA' + A'B + MA' + A'C = 2 MA' + ( A'B + A'C ) = 2 MA' + 0 = 2 MA' .

tu peux faire l' autre tout seul .

4°) AB + AC = AA' + A'B + AA' + A'C = 2 AA'

PA + PB + PC = 3PA + AB + AC = 3PA + 2AA' = 2A'A + 2AA' = 2A'A - 2A'A = 0

5°) PA + PB = CP d' après la réponse 4°)

il reste à montrer que CP = 2 C'P :

CP = PA + PB = PC + CA + PC + CB --> 3 CP = CA + CB --> 3 CP = 2 CC' --> 3 CP = 2 CP + 2 PC' --> 1 CP = 2 PC' .

6°) P est bien le centre de Gravité du triangle, donc les points P et G sont bien confondus .

GA + GB + GC = GP + PA + GP + PB + GP + PC = 3GP + PA + PB + PC = 3GP + 0 = 3 GP . Donc, avec G et P confondus, on a bien GA + GB + GC = 0 .

OA + OB + OC = OG + GA + OG + GB + OG + GC = 3 OG + GA+GB+GC = 3 OG .

partie C :

8°) OB + OC = OA' + A'B + OA' + A'C = 2 OA' + A'B+A'C = 2 OA' + 0 = 2 OA' .

AK = AO + OK = OB + OC d' après le texte ! Donc AK = 2 OA' .

9°) AK est bien une hauteur perpendiculaire au côté [ BC ] donc (AK) ⊥ (BC) . De même, (BK) ⊥ (AC) et on a aussi (CK) ⊥ (AB) .

10°) K et H sont bien confondus, le texte "OK=OA+OB+OC" se transforme en OH = OA + OB + OC .

partie D :

si on regarde les parties B et C, on a :

3 OG = OA+OB+OC   ET   OH = OA+OB+OC   DONC   OH = 3 OG . Conclusion : les points OGH sont alignés dans cet ordre avec le point G au tiers du point O et aux deux-tiers du point H .