Resposta:

Nessas questões são necessárias algumas propriedades de Log que eu coloquei em vermelho

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[tex]\blacksquare[/tex] Após os cálculos utilizando propriedades dos logaritmos, concluímos que:

a) 3

b) 11.7

c) 0.26

d) 0.44

Enunciado - 1) Considere [tex]log2=0.3,~log3=0.48,~log5=0.7,~log7=0.82[/tex]

Calcule:

a) [tex]\dfrac{log16}{log2.5}[/tex]   b)[tex]\dfrac{log25}{log1.4}[/tex]   c)[tex]\dfrac{log2.8}{log49}[/tex]   d) [tex]\dfrac{log4.5}{log81}[/tex]

Para responder essas questões, precisamos conhecer algumas das propriedades dos logaritmos:

[tex]P_1: log(\frac{a}{b} )=log(a)-log(b)\\\\P_2: log(a^b)=b \cdot loga\\\\P_3:log(a \cdot b)=log(a)+log(b)[/tex]

Com essas duas propriedades, podemos responder as alternativas.

• a) [tex]\mathbf{\dfrac{log16}{log2.5}}[/tex]

16 pode ser escrito como [tex]2^4[/tex] e 2.5 é o mesmo que [tex]\dfrac{5}{2}[/tex]. Então podemos reescrever os logaritmos da seguinte forma:

[tex]\dfrac{log16}{log2.5}=\dfrac{log(2^4)}{log(\frac{5}{2} )}[/tex]

Vamos usar a propriedade [tex]P_1[/tex] no numerador e a propriedade [tex]P_2[/tex] no denominador:

[tex]\dfrac{log(2^4)}{log(\frac{5}{2} )}\\\\\\\dfrac{4 \cdot log(2)}{log(5)-log(2)}[/tex]

O enunciado nos deu os valores de log(2) e log(5). Substituindo:

[tex]\dfrac{4 \cdot log(2)}{log(5)-log(2)}=\dfrac{4 \cdot (0.3)}{(0.7)-(0.3)}=\dfrac{1.2}{0.4} =\boxed{3}[/tex]

• b) [tex]\mathbf{\dfrac{log25}{log1.4}}[/tex]

25 pode ser escrito como [tex]5^2[/tex] e 1.4 é o mesmo que [tex]\dfrac{7}{5}[/tex]. Então podemos reescrever os logaritmos da seguinte forma:

[tex]\dfrac{log25}{log1.4}=\dfrac{log(5^2)}{log(\frac{7}{5} )}[/tex]

Usando as propriedades:

[tex]\dfrac{log(5^2)}{log(\frac{7}{5} )}\\\\\\\dfrac{2 \cdot log(5)}{log(7)-log(5)}[/tex]

O enunciado nos deu os valores de log(5) e log(7). Substituindo:

[tex]\dfrac{2 \cdot log(5)}{log(7)-log(5)}=\dfrac{2 \cdot (0.7)}{(0.82)-(0.7)}=\dfrac{1.4}{0.12} \approx\boxed{11,7}[/tex]

• c) [tex]\mathbf{\dfrac{log2.8}{log49}}[/tex]

49 pode ser escrito como [tex]7^2[/tex] e 2.8 é o mesmo que [tex]\dfrac{14}{2}[/tex]. Por sua vez, 14 é o mesmo que [tex]7 \cdot 2[/tex]. Então podemos reescrever os logaritmos da seguinte forma:

[tex]\dfrac{log2.8}{log49}=\dfrac{log(\frac{14}{5} )}{log(7^2)}=\dfrac{log(\frac{7 \cdot 2}{5} )}{log(7^2)}[/tex]

Usando as propriedades:

[tex]\dfrac{log(\frac{7 \cdot 2}{5} )}{log(7^2)}\\\\\\\dfrac{(log(7)+log(2))-log(5))}{2 \cdot log(7)}[/tex]

O enunciado nos deu os valores de log(2), log(5) e log(7). Substituindo:

[tex]\dfrac{(log(7)+log(2))-log(5))}{2 \cdot log(7)}=\dfrac{((0.82)+(0.3))-(0.7)}{2 \cdot (0.82)} \\\\\\=\dfrac{0.42}{1.64} \approx \boxed{0.26}[/tex]

• d)[tex]\mathbf{\dfrac{log4.5}{log81}}[/tex]

4.5 pode ser escrito como [tex]\dfrac{9}{2}[/tex]. 9 por sua vez, é o mesmo que [tex]3^2[/tex]. 81 é o mesmo que [tex]3^4[/tex]. Reescrevendo:

[tex]\dfrac{log(\frac{9}{2} )}{log(3^4)} =\dfrac{log(\frac{3^2}{2} )}{log(3^4)}[/tex]

Usando as propriedades:

[tex]\dfrac{(log(3^2)-log(2))}{4 \cdot log(3)}=\dfrac{(2 \cdot log(3)-log(2))-log(2) }{4 \cdot log(3)}[/tex]

O enunciado nos deu os valores de log(2) e log(3). Substituindo:

[tex]\dfrac{(2 \cdot (0.48)-(0.3))-(0.3)}{4 \cdot (0.48)} =\dfrac{(0.84)}{(1.92)} \approx \boxed{0.44}[/tex]

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