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Questão: Resolva as funções a seguir (anexo da pergunta)

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Considerando as funções dadas, calculamos cada item e as resoluções estão detalhadas abaixo:

Para esse cálculo, vamos substituir a variável pelo valor de acordo com as condições dadas:

[tex]\Large \text {$ a)~F(x) = \left \{ {{x + 5; ~se ~x > 4} \atop {x^2 - 10;~se~x \leq 4}} \right. $}[/tex]           [tex]\large \text {$ \Rightarrow F(2) - F(10) $}[/tex]

⇒ [tex]\large \text {$ Para ~F(2), x = 2 \Rightarrow x\leq 4, ent\tilde{a}o = usamos~x^2 - 10 $}[/tex]

   [tex]F(2) = x^2 -10 \Rightarrow F(2) = 2^2 - 10 \Rightarrow F(2) = 4 - 10 \Rightarrow \boxed{ F(2) = -6}[/tex]

⇒ [tex]\large \text {$ Para ~F(10), x = 10 \Rightarrow x > 4, ent\tilde{a}o = usamos~x+5 $}[/tex]

  [tex]F(10) = x + 5 \Rightarrow F(10) = 10 + 5 \Rightarrow \boxed{ F(10) = 15}[/tex]

Agora a Subtração:

[tex]\large \text {$ F(2) - F(10) = (-6) - (10) \Rightarrow \boxed{F(2) - F(10) = -16} $}[/tex]

[tex]\Large \text {$ b)~F(x) = \left \{ {{x^3 - 8; ~se ~x \geq 2} \atop {x^2 +2;~se~x < 2}} \right. $}[/tex]           [tex]\large \text {$ \Rightarrow F(-2) - F(7) $}[/tex]

[tex]F(-2) = x^2 + 2 \Rightarrow F(-2) = (-2)^2 +2 \Rightarrow F(-2) = 4+2 \Rightarrow \boxed{ F(-2) = 6}[/tex]

[tex]F(7) = x^3 -8 \Rightarrow F(7) = 7^3 - 8 \Rightarrow F(7) = 343 -8 \Rightarrow \boxed{ F(7) = 335}[/tex]

[tex]\large \text {$ F(-2) - F(7) = 6 - 335 \Rightarrow \boxed{F(-2) - F(7) = -329} $}[/tex]

[tex]\Large \text {$ c)~F(x) = \left \{ {{4x + 3; ~se ~x > -5} \atop {-3x^2;~se~x \leq -5}} \right. $}[/tex]           [tex]\large \text {$ \Rightarrow F(-3) - F(-6) $}[/tex]

[tex]F(-3) = 4x+3 \Rightarrow F(-3) = 4.(-3)+3 \Rightarrow-12+3 \Rightarrow \boxed{ F(-3) = -9}[/tex]

[tex]F(-6) = -3x^2 \Rightarrow F(-6) = -3.(-6)^2 \Rightarrow -3.36 \Rightarrow \boxed{ F(-6) = -108}[/tex]

[tex]F(-3) - F(-6) = (-9) - (-108) \Rightarrow -9 + 108 \Rightarrow \boxed{F(-3) - F(-6) = 99}[/tex]

[tex]\Large \text {$ d)~F(x) = \left \{ {{8-x; ~se ~x \geq -1} \atop {8-x^2;~se~x < -1}} \right. $}[/tex]           [tex]\large \text {$ \Rightarrow F(-12) - F(4) $}[/tex]

[tex]F(-12) = 8-x^2 \Rightarrow F(-12) = 8-(-12)^2 \Rightarrow 8- 144 \Rightarrow \boxed{ F(-12) = -136}[/tex]

[tex]F(4)= 8-x \Rightarrow F(4) = 8 - 4 \Rightarrow \boxed {F(4) = 4}[/tex]

[tex]\large \text {$ \Rightarrow F(-12) - F(4) = -136 - 4 \Rightarrow \boxed{ F(-12) - F(4) = -140} $}[/tex]

[tex]\large \text {$ e)~F(x) = 4x + 11 $}[/tex]

    [tex]\large \text {$ G(x) = x^2 $}[/tex]

   [tex]\large \text {$ \Rightarrow \boxed{F(G(x)) = 4x^2 + 11 } $}[/tex]  

[tex]\large \text {$ f)~F(x) = 5 - x $}[/tex]

     [tex]\large \text {$ G(x) = 3x^2 $}[/tex]

    [tex]\large \text {$ \Rightarrow \boxed{G(F(x)) = 3 . (5- x)^2 } $}[/tex]

[tex]\large \text {$ g)~F(x) = -10x - 3 $}[/tex]

    [tex]\large \text {$ G(x) = 10x^3 -1 $}[/tex]

   [tex]\large \text {$ \Rightarrow F(F(x)) = -10.(-10x-3) - 3 $}[/tex]

        [tex]\large \text {$ F(F(x)) = 100x +30 -3 $}[/tex]

       [tex]\large \text {$ \boxed{ F(F(x)) = 100x + 27} $}[/tex]

[tex]\large \text {$ h)~F(x) = -5x - 7 $}[/tex]

    [tex]\large \text {$ G(x) = x^2 + 2 $}[/tex]

   [tex]\large \text {$ \Rightarrow G(G(x)) = (x^2 + 2)^2 + 2 $}[/tex]

       [tex]\large \text {$ G(G(x)) = (x^2)^2 + 2.x^2.2 + 2^2 + 2 $}[/tex]

       [tex]\large \text {$ G(G(x)) = x^4 + 4x^2 + 4 + 2 $}[/tex]

      [tex]\large \text {$\boxed{ G(G(x)) = x^4 + 4x^2 + 6} $}[/tex]

[tex]\large \text {$ i)~F(x) = \dfrac{x+2}{x+1} $}[/tex]

   [tex]\large \text {$ F^{-1}(x) $}[/tex] = Função inversa.

  Sabemos que f(x) é o mesmo que y, então vamos trocar:

  [tex]\large \text {$ y = \dfrac{x + 2}{x+1} $}[/tex]      agora INVERTEMOS x com y

 [tex]\large \text {$ x = \dfrac{y + 2}{y+1} $}[/tex]

 [tex]\large \text {$ x.(y+1)=y+2 $}[/tex]  aplicando a distributiva da multiplicação

 [tex]\large \text {$ xy + x = y + 2 $}[/tex]      isolando y (deixando para o mesmo lado)

 [tex]\large \text {$ xy - y = 2 - x $}[/tex]      colocando y em evidência

 [tex]\large \text {$ y.(x - 1) = 2 - x $}[/tex]   passando (x-1) para o outro lado dividindo

 [tex]\large \text {$ y = \dfrac{2-x}{x-1} $}[/tex]

[tex]\large \text {$ \boxed{F^{-1}(x) = \dfrac{2-x}{x -1}} $}[/tex]

[tex]\large \text {$ j)~F(x) = \dfrac{4-3x}{x+1} $}[/tex]

   [tex]\large \text {$ F^{-1}(x) $}[/tex] = Função inversa.

  Sabemos que f(x) é o mesmo que y, então vamos trocar:

  [tex]\large \text {$ y = \dfrac{4-3x}{x+1} $}[/tex]      agora INVERTEMOS x com y

 [tex]\large \text {$ x = \dfrac{4-3y}{y+1} $}[/tex]

 [tex]\large \text {$ x .(y+1) = 4-3y $}[/tex] fazendo a distributiva da multiplicação

 [tex]\large \text {$ xy + x = 4-3y $}[/tex]   isolando y

 [tex]\large \text {$ xy +3y = 4 - x $}[/tex]   colocando y em evidencia no 1º membro

 [tex]\large \text {$ y.(x+3) = 4 - x $}[/tex]   agora é só passar dividindo

 [tex]\large \text {$ y = \dfrac{4 - x}{x + 3} $}[/tex]

[tex]\large \text {$ \boxed{F^{-1}(x) = \dfrac{4 - x}{x + 3}} $}[/tex]

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