Bonjour;

1)

f ' (x) = 4 ((x)' (x² + 1) - (x² + 1)' x)/(x² + 1)²

= 4 (x² + 1 - 2x * x)/(x² + 1)² = 4(x² + 1 - 2x²)/(x² + 1)²

= 4(-x² + 1)/(x² + 1)² = - 4(x² - 1)/(x² + 1)² .

2)

f' est du signe - 4(x² - 1) = - 4(x - 1)(x + 1) ;

donc f ' s'annule pour x = 1 ou x = - 1 ;

f ' est strictement positive pour x ∈ ] - 1 ; 1 [ ;

et f ' est strictement négative pour x ∈ [ - 5 ; - 1 [ ∪ ] 1 ; 5] ;

donc pour x ∈ [ - 1 ; 1 ] f est strictement croissante

et pour x ∈ [ - 5 ; - 1 ] ∪ [ 1 ; 5] f est strictement décroissante .

On a aussi : f(- 5) = - 10/13 ; f(- 1) = - 2 ; f(1) = 2 et f(5) = 10/13 .

3)

D'après le tableau de variation on a pour tout x ∈ [ - 5 ; 5] ; - 2 ≤ f(x) ≤ 2 ;

donc : m = - 2 et M = 2 .

Pour le tableau de variation ; veuillez-voir le fichier ci-joint .