Réponse :Explications étape par étape

f(x)=ax³+bx²+cx+d

f'(x)=3ax²+2bx+c

Au point d'abscisse x=0 l'équation de la tangente est y=-18x+9 la courbe passe donc par le point (0;9)   donc f(0)=9   d'où d=9

De plus f'(0)=-18 donc  soit 3a(0²)+2b(0)+c=-18   d'où c=-18

Il reste à déterminer a et b il nous faut donc deux équations

une avec la dérivée au point d'abscisse x=-4 l'autre avec la courbe au point K(1:-1)

f'(-4)   48a-8b-18=30

f(1)     a+b-18+9=-1    de cette équation on tire a=8-b

report dans l'équation précédente  48(8-b)-8b-18=30

-56b=30+18-384    d'où b=6  et si b=6  a=8-6=2

donc f(x)=2x³+6x²-18x+9

Etude de h(x)=2x³+6x²-8x+9

Df=R

limites si x tend vers -oo h(x)tend vers -oo

si x tend vers +oo h(x) ten vers+oo

dérivée  h'(x)=6x²+12x-18=2(3x²+6x-9)

h'(x)=0 si 3x²+6x-9=0

delta=144

x1=(-6-12)/6=-3  et x²=(-6+12)/6=1

Tableau de variation sur [-5:+5]

x      -5......................-3...............................1.................5

h'(x)...........+..............0..........-...................0........+.......

h(x)h(-5)....croi.......h(-3)....décroi..........h(1)......croi........h(5)

Calcule h(-5),  h(-3)  , h(1) et h(5).......pour compléter le tableau