Bonjour ;

1.

a.

(jw + 3)² + 25 = (jw)² + 2 * 3 * jw + 3² + 25

= j²w² + 6jw + 9 + 25

= - w² + 6jw + 34

= - w² + 34 + 6jw .

On a donc : |(jw)² + 25| = √((-w² + 34)² + (6w)²)

= √(w^4 - 2 * 34 * w² + 34² + 6²w²) ; ^ veut dire puissance

= √(w^4 - 68w² + 34² + 36w²)

= √(w^4 - 32w² + 34²) .

b.

r(w) = |H(jw)| = |1/((jw + 3)² + 25)| = 1/|(jw + 3)² + 25|

= 1/√(w^4 - 32w² + 34²) .

2.

a.

f'(w) = (w^4 - 32w² + 34²)' = (w^4)' - 32(w²)' + (34²)'

= 4w³ - 64w + 0 = 4w³ - 64w

= 4w(w² - 16)

= 4w(w² - 4²)

= 4w(w - 4)(w + 4) .

b.

w ∈ [0 ; + ∞ [ , donc on a : 4w(w + 4) > 0 ;

donc f' est du signe de w - 4 ;

donc pour w ∈ [0 ; 4 [ on a f'(w) < 0 ;

pour w = 4 , f'(w) = 0 et w > 4 f'(w) > 0 .

c.

Pour w ∈ [0 ; 4] on a f'(w) ≤ 0 , donc f est décroissante

de f(0) = 34² = 1156 à f(4) = 900 ;

et pour w ≥ 4 on a f'(w) ≥ 0 , donc f est croissante de f(4) = 900

jusqu'à l'infini .

Puisqu'on f'(4) = 0 et f est décroissante pour w ∈ [0 ; 4]

et croissante pour w ≥ 4 , donc f admet un minimum pour w = 4

qui est f(4) = 4^4 - 32 * 4² + 34² = 900 ;

donc la fonction √f admet un minimum pour w = 4 qui est √(900) = 30 ;

donc la fonction 1/√f admet un maximum pour w = 4 qui est 1/30 ;

donc la fonction r = 1/√f admet un maximum pour w = 4 égal à 1/30 .