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Bonjour,

Ex 5)

Sachant que périmètre cercle = 2π * r  et aire cercle = π*r²

longueur clôture = 100 mètres

1)

y = 100 - π*x    et x = (y - 100)(-π) = (100 - y)/π

2)

Aire rectangle = xy

Aire 1/4 cercle = (1/4)*(π*x²) = (π*x²)/4

3)

Aire totale = Aire rectangle + 2 * Aire (1/4)cercle

Aire totale = xy + (π*x²)/2

4)

 y = 100 - π*x

5)

Aire totale = x ( 100 - π*x) + ( π*x²)/2

                  = 100x - π*x² + (π*x²)/2

                   = (200x - 2πx² + πx²)/2

                   = 100x - (πx²)/2  ce qu'il fallait démontrer

6)

A(x) croissante sur  [0 ; 100/π ]  puis décroissante

7)

Puisque

A(x) = (-π/2)x² + 100x  

L' aire sera maximale pour x = (-b/2a) = 100/π ≈ 31.83 mètres

A(31.83) ≈ 1591 m²

8) On demande que

A(x) = 1000

(-π/2)x² + 100x = 1000

(-π/2)x² + 100x - 1000 = 0  

Δ = 10 000 - 2000π

deux solutions

x' = (100 - √Δ)/π ≈ 12.42 mètres arrondis au cm

x" = (100+√Δ)/π ≈ 51.24 mètres arrondis au cm