Bonjour,

h = hauteur de la boîte  et x = longueur du côté de la base carrée

Volume total de la boîte = 20 cm³

1)

Aire totale = h * x²  ⇒ h = 20/x²

2)

Aire dessus dessous = 2x²

Prix de revient du dessus et du dessous = 2x² * 0.16 = 0.32x²

Aire côté = 4(h * x) = 4( 20/x²)x = 80/x

Prix de revient = 1 * (80/x) = 80/x

3)

P(x) =  (0.32x^4 + 80x)/x²

4)

P'(x) = (0.64x^5-80x²/x^4 = (0.64(x³-125))/x²

5)

(x-5)(x²+5x+25) = x³ + 5x² + 25x - 5x² - 25x - 125 = x³ - 125  ce qu'il fallait démontrer

6)

x²  + 5x + 25 =0     Δ = -75  donc aucune solution

x² + 5x+25 est toujours positif

x           0                              5                           10

(x-5)                négatif           0     positif

x²+5x+25          positif                  positif

P'(x)                  négatif          0       positif

P(x)              décroissante              croissante

Le prix de revient sera minimal pour x = 5  et h = 20/x² = 0.8

P(5) = 24

Bonne soirée