Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

a)

f(x)=3/x -(2/x)*lnx

Quand x tend vers 0+:

3/x tend vers +inf .

lnx tend vers -inf et -2/x tend  vers -inf donc par produit -(2/x)*lnx tend vers +inf.

Donc par somme  f(x) tend vers +inf.

L'axe des y est asymptote à Cf.

b)

Quand tend vers + inf :

f(x)=3/x -2(lnx/x)

3/x tend vers 0.

On admet en général dans le cours que :

lim lnx/x=0 quand x tend vers +inf en disant que :

les puissances de "x" imposent leur limite à la fonction lnx.

Par somme :

lim f(x)=0 quend  x tend vers +inf.

L'axe des x est asymptote à Cf.

2)

a)

f(x) est de la forme u/v avec :

u=3-2lnx  donc u '=-2/x

v=x  donc v '=1

f '(x)=[-2-(3-2lnx)/x²=(2lnx-5)/x²

b)

2lnx-5 > 0

lnx > 5/2 qui donne :

x > exp(5/2)

c)

Tu fais ton ton tableau sur ]0;+inf[ avec une valeur intermédiaire qui est "exp(5/2)".

Et tu marques que f(x) décroît sur ]0;exp(5/2)] et croît ensuite.

3)

ln(exp(-1))=-1 : OK ?

f(exp(-1))=(3-2(-1)) / (exp(-1))=5/exp(-1)

Mais exp(-1)=1/e

Donc f(exp(-1))=5/(1/e)=5*e ou 5*exp(1). OK ?

4)

Voir graph joint.

5)

F(x)=3lnx-(lnx)²

(lnx)² est de la forme u² dont la dérivée est 2*u*u'.

Donc :[ (lnx)²]'=(2lnx)/x

F '(x)=3/x - (2lnx)/x=(3-2lnx)/x=f(x)

6 ) On calcule donc F(4)-F(1).

F(4)=3ln4 - (ln4)²=3*2*ln2-(2*ln2)²=6ln2-4*(ln2)²

F(1)=0

F(4)-F(0)=6*ln(2)-4*(ln2)² en unités d'aire et non en cm².

Pour mettre en cm² , il faut connaître ton graphique et voir combien l'unité d'aire vaut de cm².

Sur mon graph : une unité d'aire = 10 x 0.5 =5 cm²