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Bonjour,

1)

U₁ = 5U₀/(4U₀ + 1) = (5x5/7)/(4x5/7 + 1) = (25/7)/(27/7) = 25/27

U₂ = ... = 125/127

U₃ = ... = 625/627

U₄ = ... = 3125/3127

2) 1 > U₀ > 0

On suppose qu'au rang n : 1 > Un > 0

Au rang (n + 1) :

D'une part : Un > 0 ⇒ 5Un > 0 et 4Un + 1 > 1 donc > 0

⇒ Un+1 > 0

Et d'autre part : 5Un = 4Un + Un et Un < 1 ⇒ 5Un < 4Un + 1  ⇒ Un+1 < 1

Donc : 0 < Un+1 < 1 ⇒ récurrence démontrée

3) Au numérateur, on multiplie par 5 à chaque étape : 5, 25, 125, 625,...

donc 5ⁿ⁺¹

Au dénominateur : 5ⁿ⁺¹ + 2 : 7, 27, 627, ...

Donc on peut conjecturer : Un = 5ⁿ⁺¹/(5ⁿ⁺1 + 2)

4) U₀ = 5/7 et 5¹/(5¹ + 2) = 5/7 donc vérifiée au rang n = 0

On suppose qu'au rang n, Un = 5ⁿ⁺¹/(5ⁿ⁺¹ + 2)

Au rang (n + 1) : Un+1 = 5Un/(4Un + 1)

= 5x[5ⁿ⁺¹/(5ⁿ⁺¹ + 2)/(4x5ⁿ⁺¹/(5ⁿ⁺¹ + 2) + 1)

= [5ⁿ⁺²/(5ⁿ⁺¹ + 2)]/[(4x5ⁿ⁺¹ + 5ⁿ⁺¹ + 2)/(5ⁿ⁺¹ + 2)]

= 5ⁿ⁺²/(5x5ⁿ⁺¹ + 2)

= 5ⁿ⁺²/(5ⁿ⁺² + 2)

⇒ héridité demontrée