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f(x) = 1 + [ (x-1)/(x²+1) ]

1°) f '(x) = [ (x²+1) - 2x(x-1) ] / (x²+1)² = [ x² + 1 - 2 x² + 2x ] / (x²+1)²
                                                           = ( - x² + 2x + 1 ) / (x²+1)²
2°) soit T le point de coordonnées ( 1 ; 1 ) .
       Cherchons l' équation de la tangente en T :
          f '(1) = 2 / 4 = 1/2 = 0,5
             y = 0,5x + constante   devient   1 = 0,5 + cte d' où cte = 0,5
       conclusion : l' équation de la tangente en T est : y = 0,5x + 0,5

3°) tangente horizontale --> f '(x) = 0 donc - x² + 2x + 1 = 0
                                                                          x² - 2x - 1 = 0
                                                 ( x - 1 + √2 ) ( x - 1 - √2 ) = 0
                                                   x = 1 - √2   OU   x = 1 + √2
     on a donc des tangentes horizontales pour les points
         H ( 1 - √2 ; (1-√2)/2 )   et   J ( 1 + √2 ; (1+√2)/2 )

4°) f '(x) = - 0,5 donne -x²+2x+1 = -0,5(x4+2x²+1) donc 2x+1 = -0,5x4-0,5
                          donc 0,5x4+2x+1,5 = 0
                                       x4 + 4x + 3 = 0
                                (x+1)²(x²-2x+3) = 0
                      x+1 = 0   OU   x²-2x+3 = 0
                         x = -1   OU   impossible car Δ < 0 ( x²-2x+3 toujours > 0 )
      conclusion : on a bien une tangente d' équation y = -0,5x
                           au point K de coordonnées ( -1 ; 0 )