Bonjour :) j’aurai besoin d’aide avec cette exercice. Je n’arrive pas à le faire.
Un nouveau magazine arrive sur le marché en 2020. La première année (en 2020), 500 personnes s'abonnent au magazine. On prévoit que chaque année, 80% des abonnées renouvelleront leurs abonnements et 200 nouvelles personnes s'abonneront.
On note Un le nombre d'abonnés en 2020+n
1. Donner la valeur de U0 et calculer U1.
2. Justifier que, pour tout ∀ n ∈ ℕ, Un+1 = 0,8Un+200.
3. Démontrer par récurrence que. Un ⩽ Un+1 ⩽ 1000, ∀ n ∈ ℕ.
4. En déduire que la suite (Un) est convergente.
Mercii d’avance :)
Un nouveau magazine arrive sur le marché en 2020. La première année (en 2020), 500 personnes s'abonnent au magazine. On prévoit que chaque année, 80% des abonnées renouvelleront leurs abonnements et 200 nouvelles personnes s'abonneront.
On note Un le nombre d'abonnés en 2020+n
1. Donner la valeur de U0 et calculer U1.
2. Justifier que, pour tout ∀ n ∈ ℕ, Un+1 = 0,8Un+200.
3. Démontrer par récurrence que. Un ⩽ Un+1 ⩽ 1000, ∀ n ∈ ℕ.
4. En déduire que la suite (Un) est convergente.
Mercii d’avance :)
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2. Nous pouvons justifier que, pour tout n ∈ ℕ, Un+1 = 0,8Un+200 en utilisant la formule donnée dans l'énoncé. Nous avons que chaque année, 80% des abonnés renouvellent leur abonnement, donc le nombre d'abonnés en 2020+n+1 est égal à 80% du nombre d'abonnés en 2020+n plus 200 nouveaux abonnés. Cela donne la formule Un+1 = 0,8Un + 200.
3. Nous allons démontrer par récurrence que Un ⩽ Un+1 ⩽ 1000, ∀ n ∈ ℕ. Tout d'abord, nous avons U0 = 500 et U1 = 600, donc U0 ⩽ U1 ⩽ 1000. Maintenant, supposons que Un ⩽ Un+1 ⩽ 1000 pour un certain n. En utilisant la formule Un+1 = 0,8Un + 200, nous avons:
Un+1 ⩽ 0,8Un + 200 + 800
Un+1 ⩽ 0,8Un + 1000
Un+1 ⩽ 1000
Nous avons donc prouvé que Un ⩽ Un+1 ⩽ 1000 pour tout n.
4. Comme la suite (Un) est croissante et majorée par 1000, elle est convergente. Nous pouvons donc conclure que la suite (Un) converge.