Bonjour, je n’arrive pas à faire les deux questions de cet exercice de mathématiques sur les suites. J’espère que vous pourrez m’aider! Merci d’avance, le voici:
On dispose d'un carré de côté1.
1. A partir de quelle étape, plus de 99% du carré est
colorié ?
2. Peut-on, par cette méthode, arriver à colorier tout
le carré initial de côté 1 ? Justifier.
On dispose d'un carré de côté1.
1. A partir de quelle étape, plus de 99% du carré est
colorié ?
2. Peut-on, par cette méthode, arriver à colorier tout
le carré initial de côté 1 ? Justifier.
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Réponse :
Explications étape par étape :
■ soit un carré d' 1 mètre ( = 100 cm ) de côté
■ Aire totale du carré = 1 m² = 100 dm² = 10ooo cm²
■ 99% de 10ooo cm² = 9900 cm² ♥
■ première Aire rose = 5ooo cm²
seconde Aire rose = 2500 cm²
troisième Aire rose = 1250 cm²
4ème Aire rose = 625 cm²
et ainsi de suite ...
■ on peut admettre que la suite des Aires roses
est une suite géométrique de terme initial
A1 = 5000 cm² et de raison q = 0,5
■ Somme des n Aires roses :
5000 * (1 - 0,5^n) / 0,5 = 10ooo * (1 - 0,5^n)
■ 1°) on doit donc résoudre :
10ooo * (1 - 0,5^n) > 9900
1 - 0,5^n > 0,99
1 - 0,99 > 0,5^n
0,01 > 0,5^n
Log0,01 > n * Log0,5
-2 > -0,30103 n
-2/-0,30103 < n
6,644 < n
conclusion : on retient n = 7 .
vérif :
10ooo * (1 - 0,5^7) ≈ 9922 cm²
■ 2°)
la Limite de 10ooo * (1 - 0,5^n) pour n tendant vers l' infini
est bien 10ooo cm² donc 1 m²
mais peut-on atteindre l' infini ? ☺
En pratique, lorsque n = 20 , on aura quasiment
tout colorié le carré d' 1 m² ( surtout si on a tendance
à déborder en coloriant ! ☺ )