Bonjour,

a) Pour calculer la dérivée de la fonction g(x) = ln(x) / x, vous pouvez utiliser la règle du quotient. La dérivée g'(x) sera :

g'(x) = [1/x * (d/dx)ln(x) - ln(x) * (d/dx)(1/x)] / (1/x)^2

Maintenant, nous pouvons calculer les dérivées individuelles :

- (d/dx)ln(x) = 1/x

- (d/dx)(1/x) = -1/x^2

En utilisant ces résultats, nous pouvons simplifier g'(x) :

g'(x) = [1/x * 1/x - ln(x) * (-1/x^2)] / (1/x)^2

g'(x) = [1/x^2 + ln(x)/x^2]

Donc, g'(x) = (1 + ln(x)) / x^2 pour tout x dans l'intervalle ]0; + ∞[.

b) Pour déterminer les variations de g sur l'intervalle ]0; + ∞[, vous pouvez utiliser la dérivée g'(x) que nous avons trouvée. Observez que g'(x) est toujours positif sur cet intervalle car ln(x) est toujours positif et x^2 est toujours positif. Par conséquent, g(x) est croissante sur ]0; + ∞[.

c) Maintenant, nous pouvons construire le tableau de variations de g sur ]0; + ∞[ :

- g'(x) est positif sur cet intervalle, ce qui signifie que g(x) est croissante.

- g(0) n'est pas définie car ln(0) n'existe pas.

- Limite de g(x) lorsque x tend vers +∞ est 0 car ln(x) croît plus lentement que x.

Donc, le tableau de variation de g sur ]0; + ∞[ est le suivant :

x | 0 < x < +∞

g(x) | ↗ 0