Resposta:

abaixo:

Explicação passo a passo:

Teorema: Para todos inteiros k, se k > 0 então k

2 + 2k + 1 é um número composto.

Prova: Suponha que k é um número inteiro tal que k > 0. Se k

2+2k+1 é composto, então k

2+2k+1 = r·s,

para inteiros r e s tal que 1 < r < (k

2 + 2k + 1) e 1 < s < (k

2 + 2k + 1). Já que k

2 + 2k + 1 = r · s e

ambos r e s estão necessariamente entre 1 e k

2 + 2k + 1, então k

2 + 2k + 1 não é primo. Assim, k

2 + 2k + 1

é composto, o que devia ser mostrado.

Resposta:

A partir do ponto

Já que k

2+2k+1 = r ·s e ambos r e s estão necessariamente entre 1 e k

2+2k+1, então k

2+2k+1

não é primo. Assim, k

2 + 2k + 1 é composto, o que devia ser mostrado.

é usada a questão a ser provada. Nesse ponto na prova, não foi mostrado ainda que k

2 + 2k + 1 é um número

composto, o que devia ser provado.

2. Identique o erro na prova do teorema abaixo.

Teorema: A soma de quaisquer dois inteiros pares é igual a 4k para algum inteiro k.

Prova: Suponha que m e n são dois inteiros pares quaisquer. Pela denição de par m = 2k para algum

inteiro k e n = 2k para algum inteiro k. Por substituição, m + n = 2k + 2k = 4k, o que devia ser provado.

Resposta:

O erro na prova é que o mesmo símbolo k é usado para representar dois números diferentes. Ao supor

que m e n são iguais a 2k, temos que m = n e, assim, a prova é válida apenas para o caso onde m = n. Se

m 6= n, a conclusão é, em geral, falsa. Por exemplo, 6 + 4 = 10 mas 10 6= 4k para qualquer inteiro k.

3. Identique o erro na prova do teorema abaixo.

Teorema: Seja n um número inteiro ímpar. Sabe-se que bn/2c = (n − 1)/2.

Prova: Suponha que n é um número inteiro ímpar. Sabe-se que n = 2k + 1 para algum inteiro k. Consequentemente,

2k + 1

2

=

(2k + 1) − 1

2

=

2k

2

= k.

Como n = 2k + 1, temos que k = (n − 1)/2. Assim, por substituição temos que bn/2c = (n − 1)/2.

Esta prova incorreta usa a questão a ser provada. A igualdade b

n

2

c é o que deve ser provado. Ao substituir

2k+ 1 por n nos dois lados da igualdade e assumindo que o resultado é verdadeiro, a prova assume a verdade

da conclusão a ser provada.

Resposta:

Prova correta: Suponha que n é um número inteiro ímpar. Sabe-se que n = 2k + 1 para algum inteiro

k. Consequentemente,

2k + 1

2

=

k +

1

2

= k.

Note que bk +

1

2

c = k pela denição da função chão, já que k é o maior inteiro menor ou igual a k +

1

2

.

Ao substituirmos n por 2k + 1 no lado direito da equação proposta, temos:

(2k + 1) − 1

2

=

2k

2

= k.

Assim, os lados esquerdo e direito da equação a ser provada são idênticos.

1

4. Prove se a seguinte armação é verdadeira ou não. Para todos inteiros n, 4(n

2 +n+ 1)−3n

2

é um quadrado

perfeito.

Resposta:

Prova: Suponha que n seja um número inteiro. Então 4(n

2 + n + 1) − 3n

2 = 4n

2 + 4n + 4 − 3n

2 =

n

2 + 4n + 4 = (n + 2)2

, que é um quadrado perfeito já que n + 2 é um inteiro.

5. Prove se a seguinte armação é verdadeira ou não. Existe um inteiro k tal que k ≥ 4 e 2k

2 −5k + 2 é primo.