Inicialmente vamos para as condições de existência. Como só há logaritmos de números positivos (ou > 0), então teremos que:
x - 1 > 0 x > 1
e
x+1 > 0 x > -1 .
Agora veja: entre "x" ser maior do que "1" e maior do que "-1", vai prevalecer a primeira hipótese, pois sendo x > 1 já o será maior do que "-1". Logo, a única condição de existência será esta:
x > 1 --------- Esta é a única condição de existência.
Bem, como já vimos qual é a condição de existência da expressão dada, vamos trabalhar com ela, e que é esta:
2ln(x-1) - ln(x+1) ≤ 0 ----- vamos passar "-ln(x+1)" para o 2º membro, teremos: 2ln(x-1) ≤ ln(x+1) ----- vamos passar o "2" como expoente, com o que ficaremos:
ln(x-1)² ≤ ln(x+1)
Agora note: como as bases são as mesmas (logaritmos neperianos têm a base igual a "2,718" aproximadamente), então poderemos comparar os logaritmandos. E, na comparação dos logaritmandos, o faremos com o mesmo sentido da desigualdade, pois a base é maior do que "1" (e, claro, se as bases estivessem entre "0" e "1" na comparação dos logaritmandos deveríamos trocar o sentido da desigualdade: o que fosse ≤ passaria para maior ou igual e vice-versa) . Assim, na comparação dos logaritmandos poderemos fazer:
(x-1)² ≤ (x+1) ---------- vamos desenvolver, ficando: x²-2x+1 ≤ x+1 ---- vamos passar todo o 2º membro para o 1º, ficando: x²-2x+1 - x - 1 ≤ 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos: x² - 3x ≤ 0
Agora vamos estudar a variação de sinais da expressão acima, em função de suas raízes. Então vamos logo ver quais são as raízes dessa expressão:
x² - 3x = 0 ---- colocando "x" em evidência, ficaremos;
x*(x - 3) = 0 ---- aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:
ou x = 0 ----> x' = 0
ou x-3 = 0 ---> x'' = 3.
Finalmente, agora vamos estudar a variação de sinais da expressão acima, em função de suas raízes (que são x' = 0 e x'' = 3). Assim, teremos:
Note que queremos que a expressão seja MENOR ou IGUAL a zero. Então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos aí em cima, e que está entre "0" e "3". Mas lembre-se que, conforme a única condição de existência vista logo no início, tínhamos que x > 1. Então o intervalo válido para para a expressão acima estará entre "1" e "3", sendo que, no "1" o intervalo é aberto (pois a condição de existência era x > 1) e em "3" o intervalo é fechado, pois "x" poderá ser igual a "3" sem nenhum problema. Assim, o intervalo que vale será este:
1 < x ≤ 3 ------ Esta é a resposta.
Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:
S = {x ∈ R | 1 < x ≤ 3}.
Ou ainda, se quiser, o conjunto-solução poderá ser apresenta do seguinte modo, o que dá no mesmo:
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2ln(x - 1) - ln(x + 1) ≤ 0CE: x - 1) > 0 => x > 1 e x + 1 > 0 => x > -1
x > 1 e x > -1 feita a interseção, fica S1: x > 1
ln(x - 1)² - ln(x + 1) ≤ 0
ln(x - 1)² ≤ ln(x + 1)
Como a base é e = 2,718 aprox. é maior que 1, podemos comparar os logaritmandos e manter o sentido da desigualdade, logo:
(x - 1) ² ≤ x + 1
x² - 2x + 1 -x - 1 ≤ 0
x² - 3x ≤ 0
Cálculo das raízes
x(x - 3) = 0
x = 0
ou x - 3 = => x = 3
Estudando os sinais da inequação
-----------------0...................3--------------------
+ - +
S2: 0 ≤ x ≤ 3
S = S1 ∩ S2
--------------------------------1....................................
---------------------0...........................3-----------------
-------------------------------1..............3-----------------
S = {x ∈ R/ 1< x ≤ 3}
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Vamos lá.Pede-se para resolver a seguinte inequação:
2ln(x-1) - ln(x+1) ≤ 0
Inicialmente vamos para as condições de existência. Como só há logaritmos de números positivos (ou > 0), então teremos que:
x - 1 > 0
x > 1
e
x+1 > 0
x > -1 .
Agora veja: entre "x" ser maior do que "1" e maior do que "-1", vai prevalecer a primeira hipótese, pois sendo x > 1 já o será maior do que "-1".
Logo, a única condição de existência será esta:
x > 1 --------- Esta é a única condição de existência.
Bem, como já vimos qual é a condição de existência da expressão dada, vamos trabalhar com ela, e que é esta:
2ln(x-1) - ln(x+1) ≤ 0 ----- vamos passar "-ln(x+1)" para o 2º membro, teremos:
2ln(x-1) ≤ ln(x+1) ----- vamos passar o "2" como expoente, com o que ficaremos:
ln(x-1)² ≤ ln(x+1)
Agora note: como as bases são as mesmas (logaritmos neperianos têm a base igual a "2,718" aproximadamente), então poderemos comparar os logaritmandos. E, na comparação dos logaritmandos, o faremos com o mesmo sentido da desigualdade, pois a base é maior do que "1" (e, claro, se as bases estivessem entre "0" e "1" na comparação dos logaritmandos deveríamos trocar o sentido da desigualdade: o que fosse ≤ passaria para maior ou igual e vice-versa) . Assim, na comparação dos logaritmandos poderemos fazer:
(x-1)² ≤ (x+1) ---------- vamos desenvolver, ficando:
x²-2x+1 ≤ x+1 ---- vamos passar todo o 2º membro para o 1º, ficando:
x²-2x+1 - x - 1 ≤ 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x² - 3x ≤ 0
Agora vamos estudar a variação de sinais da expressão acima, em função de suas raízes. Então vamos logo ver quais são as raízes dessa expressão:
x² - 3x = 0 ---- colocando "x" em evidência, ficaremos;
x*(x - 3) = 0 ---- aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:
ou
x = 0 ----> x' = 0
ou
x-3 = 0 ---> x'' = 3.
Finalmente, agora vamos estudar a variação de sinais da expressão acima, em função de suas raízes (que são x' = 0 e x'' = 3). Assim, teremos:
x² - 3x ≤ 0 ...+ + + + + + + + + + + (0) - - - - - - - - - - - (3) + + + + + + + + + +
Note que queremos que a expressão seja MENOR ou IGUAL a zero. Então só nos vai interessar onde tiver sinal de menos aí em cima, e que está entre "0" e "3".
Mas lembre-se que, conforme a única condição de existência vista logo no início, tínhamos que x > 1. Então o intervalo válido para para a expressão acima estará entre "1" e "3", sendo que, no "1" o intervalo é aberto (pois a condição de existência era x > 1) e em "3" o intervalo é fechado, pois "x" poderá ser igual a "3" sem nenhum problema. Assim, o intervalo que vale será este:
1 < x ≤ 3 ------ Esta é a resposta.
Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:
S = {x ∈ R | 1 < x ≤ 3}.
Ou ainda, se quiser, o conjunto-solução poderá ser apresenta do seguinte modo, o que dá no mesmo:
S = (1; 3].
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.