Explicação passo a passo:

Considere a função

    [tex]\begin{array}{ccll}f:&\mathbb{R}&\!\!\!\to\!\!\!&\mathbb{R}\\\\ &x&\!\!\!\mapsto\!\!\!&f(x)=2x+4+|x-3|\end{array}[/tex]

Dado um número [tex]a\in\mathbb{R},[/tex] o módulo de [tex]a[/tex] é definido por

    [tex]|a|=\left\{\begin{array}{rl}\!\!a,&\mathrm{se~}a\ge 0\\ \!\!-a,&\mathrm{se~}a < 0 \end{array}\right.[/tex]

Portanto,

    [tex]\begin{array}{l}|x-3|=\left\{\begin{array}{rl}\!\! x-3,&\mathrm{se~}x-3\ge 0\\ \!\!-(x-3),&\mathrm{se~}x-3 < 0 \end{array}\right.\\\\ \Longleftrightarrow\quad |x-3|=\left\{\begin{array}{rl}\!\! x-3,&\mathrm{se~}x\ge 3\\ \!\!-x+3,&\mathrm{se~}x < 3 \end{array}\right. \end{array}[/tex]

Então, a lei de [tex]f[/tex] é descrita por duas sentenças:

    [tex]\begin{array}{l}f(x)=-2x+4+|x-3|\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(x)=\left\{\begin{array}{rl}\!\! -2x+4+(x-3),&\mathrm{se~}x\ge 3\\ \!\!-2x+4+(-x+3),&\mathrm{se~}x < 3\end{array}\right.\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(x)=\left\{\begin{array}{rl}\!\! -x+1,&\mathrm{se~}x\ge 3\\ \!\!-3x+7,&\mathrm{se~}x < 3 \end{array}\right. \end{array}[/tex]

Cada sentença é uma função do primeiro grau em [tex]x,[/tex] cujos gráficos serão semirretas no plano, que são determinadas conhecendo-se dois de seus pontos.

• Calculando [tex]f(3):[/tex]

    [tex]f(3)=-(3)+1\quad\Longleftrightarrow\quad f(3)=-2\qquad\checkmark[/tex]

O ponto [tex](3,\,-2)[/tex] pertence ao gráfico de [tex]f.[/tex]

•     Para [tex]x<3,[/tex] tomemos outro ponto, por exemplo [tex]x=0:[/tex]

    [tex]f(0)=-3\cdot (0)+7\quad\Longleftrightarrow\quad f(0)=7\qquad\checkmark[/tex]

O ponto [tex](0,\,7)[/tex] pertence ao gráfico de [tex]f.[/tex]

Para [tex]x\ge 3,[/tex] podemos tomar por exemplo [tex]x=6:[/tex]

    [tex]f(6)=-(6)+1\quad\Longleftrightarrow\quad f(6)=-5\qquad\checkmark[/tex]

O ponto [tex](6,\,-5)[/tex] pertence ao gráfico de [tex]f.[/tex]

O gráfico de [tex]f[/tex] segue em anexo.

b) Verificando se [tex]f[/tex] é injetora:

Dizemos que [tex]f[/tex] é injetora se e somente se para quaisquer [tex]x_1,\,x_2\in \mathrm{Dom}(f),[/tex] se [tex]f(x_1)=f(x_2),[/tex] então [tex]x_1=x_2.[/tex]

Em outras palavras, se [tex]f[/tex] é injetora, então não existem dois elementos do domínio de [tex]f[/tex] que possuem a mesma imagem.

• Verificando para [tex]x<3:[/tex]

Considere [tex]x_1,\,x_2\in\;]\!-\infty,\,3[\,,[/tex] tais que [tex]f(x_1)=f(x_2):[/tex]

    [tex]f(x_1)=f(x_2)\\\\ \Longleftrightarrow\quad -3x_1+7=-3x_2+7\\\\ \Longleftrightarrow\quad -3x_1=-3x_2\\\\ \Longleftrightarrow\quad x_1=x_2[/tex]

Logo, [tex]f[/tex] é injetora para [tex]x<3.[/tex]

• Verificando para [tex]x\ge 3:[/tex]

Considere [tex]x_1,\,x_2\in [3,\,+\infty[\,,[/tex] tais que [tex]f(x_1)=f(x_2):[/tex]

    [tex]f(x_1)=f(x_2)\\\\ \Longleftrightarrow\quad -x_1+1=-x_2+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad -x_1=-x_2\\\\ \Longleftrightarrow\quad x_1=x_2[/tex]

Logo, [tex]f[/tex] é injetora para [tex]x\ge 3.[/tex]

Concluímos então que [tex]f[/tex] é injetora.

Dizemos que [tex]f[/tex] é sobrejetora se e somente se, dado [tex]y\in \mathrm{CD}(f),[/tex] existe [tex]x\in\mathrm{Dom}(f)[/tex] tal que [tex]y=f(x).[/tex]

Equivalentemente, podemos afirmar que [tex]f[/tex] é sobrejetora se e somente se todo elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio, isto é, sempre conseguimos resolver a equação [tex]y=f(x)[/tex] para a variável [tex]x,[/tex] com [tex]x\in\mathrm{Dom}(f)[/tex]

• Verificando para [tex]x<3:[/tex]

Seja [tex]y=-3x+7,[/tex] com [tex]x\in\;]\!-\infty,\,3[\,.[/tex] Resolvendo a equação para [tex]x,[/tex] encontramos

    [tex]\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad y-7=-3x\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{y-7}{-3}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{7-y}{3}\qquad\checkmark \end{array}[/tex]

e se [tex]x<3,[/tex] temos

    [tex]\Longleftrightarrow\quad -3x > -9\\\\ \Longleftrightarrow\quad -3x+7 > -9+7 \\\\ \Longleftrightarrow\quad -3x+7 > -2\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(x) > -2\qquad\checkmark[/tex]

Logo, [tex]f(\,]\!-\infty,\,3[\,)=\;]\!-2,\,+\infty[\,.[/tex]

• Verificando para [tex]x\ge 3:[/tex]

Seja [tex]y=-x+1,[/tex] com [tex]x\in[3,\,\!+\infty[\,.[/tex] Resolvendo a equação para [tex]x,[/tex] encontramos

   [tex]\Longleftrightarrow\quad y-1=-x\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=-(y-1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=-y+1\qquad\checkmark[/tex]

e se [tex]x\ge 3,[/tex] temos

      [tex]\Longleftrightarrow\quad x\le -3\\\\ \Longleftrightarrow\quad -x+1\le -3+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad -x+1\le -2\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(x)\le -2\qquad\checkmark[/tex]

Logo, [tex]f(\,[3,\,+\infty[\,)=\;]\!-\infty,\,-2\,].[/tex]

Dessa forma, temos

    [tex]\mathrm{Im}(f)=f(\,]\!-\infty,\,3[\,)\,\cup\,f(\,[3,\,+\infty]\,)\\\\ =\,]\!-2,\,+\infty[\;\cup\;[\,-\infty,\,-2]\\\\=\mathbb{R}=\mathrm{CD}(f)\qquad\checkmark[/tex]

Logo, [tex]f[/tex] é sobrejetora.

Como [tex]f[/tex] é simultaneamente injetora e sobrejetora, então [tex]f[/tex] é bijetora e consequentemente admite inversa.

c) A inversa de [tex]f[/tex] é dada abaixo:

    [tex]f^{-1}(y)=\left\{\begin{array}{rl}\dfrac{7-y}{3},&\mathrm{se~}y > -2\\\\ -y+1,&\mathrm{se~}y\le -2 \end{array}\right.[/tex]

Bons estudos!