[Corrigé du Diplôme national du Brevet] - Session 2019 - Mathématiques [Série générale]
Bonjour, ce corrigé vous est proposé par l'équipe de modération de nosdevoirs.fr
Exercice 1
Le capitaine d'un navire possède un trésor constitué de 69 diamants, 1 150 perles et 4 140 pièces d'or.
1. Décomposer 69 ; 1 150 et 4 140 en produits de facteurs premiers.
2. Le capitaine partage équitablement le trésor entre les marins.
Combien y-a-t-il de marins sachant que toutes les pièces, perles et diamants ont été distribués ?
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Exercice 1
Le capitaine d'un navire possède un trésor constitué de 69 diamants, 1 150 perles et 4 140 pièces d'or.
1. Décomposer 69 ; 1 150 et 4 140 en produits de facteurs premiers.
2. Le capitaine partage équitablement le trésor entre les marins.
Combien y-a-t-il de marins sachant que toutes les pièces, perles et diamants ont été distribués ?
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Bonjour,
Exercice 1 :
1) Décomposer en produits de facteurs premiers :
Rappel : un nombre premier est un nombre qui n'est divisible que par 1 et par lui-même.
Par exemple : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; sont des nombres premiers.
• 69 = 3 × 23 ✅
• 1150 = 115 × 10 = 5 × 23 × 2 × 5
= 2 × 5² × 23 ✅
• 4140 = 414 × 10 = 3 × 138 × 2 × 5
= 3 × 2 × 69 × 2 × 5
Or on a vu ci-dessus que 69 = 3 × 23, donc :
= 3 × 2 × 3 × 23 × 2 × 5
= 2² × 3² × 5 × 23 ✅
2) Combien y-a-t-il de marins sachant que toutes les pièces, perles et diamants ont été distribués ?
Pour répondre à cette question, il faut calculer le PGCD de 69 ; 1150 et 4140.
Rappel : le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux ou plusieurs nombres entiers non nuls est le plus grand entier qui divise ces nombres simultanément.
➡️ Pour calculer le PGCD de ces 3 nombres, on peut utiliser leurs décompositions en produits de facteurs premiers. Le PGCD de ceux-ci est alors égal au produit de leur facteurs premiers communs. Chacun d'eux est pris une seule fois et avec l'exposant le plus petit.
• 69 = 3 × 23
• 1150 = 2 × 5² × 23
• 4140 = 2² × 3² × 5 × 23
PGCD(69, 1150, 4140) = 23
➡️ Conclusion : Il y a 23 marins sur le navire ✅
Bonne journée et bonnes révisions !