[Corrigé du Diplôme national du Brevet] - Session 2019 - Mathématiques [Série générale] - Métropole
Bonjour, ce corrigé vous est proposé par l'équipe de modération de nosdevoirs.fr
Exercice 2
Dans cet exercice, on donnera, si nécessaire, une valeur approchée des résultats au centième près.
Pour construire le décor d’une pièce de théâtre (Figure 1), Joanna dispose d’une plaque rectangulaire ABCD de 4 m sur 2 m dans laquelle elle doit découper les trois triangles du décor avant de les superposer. Elle propose un découpage de la plaque (Figure 2).
1. Montrer que [AM] mesure environ 3,46 m.
2. La partie de la plaque non utilisée est représentée en quadrillé sur la figure 2. Calculer une valeur approchée au centième de la proportion de la plaque qui n’est pas utilisée.
3. Pour que la superposition des triangles soit harmonieuse, Joanna veut que les trois triangles AMD,PNM et PDN soient semblables. Démontrer que c’est bien le cas.
4. Joanna aimerait que le coefficient d’agrandissement pour passer du triangle PDN au triangle AMD soit plus petit que 1,5. Est-ce le cas ? Justifier.
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Exercice 2
Dans cet exercice, on donnera, si nécessaire, une valeur approchée des résultats au centième près.
Pour construire le décor d’une pièce de théâtre (Figure 1), Joanna dispose d’une plaque rectangulaire ABCD de 4 m sur 2 m dans laquelle elle doit découper les trois triangles du décor avant de les superposer. Elle propose un découpage de la plaque (Figure 2).
1. Montrer que [AM] mesure environ 3,46 m.
2. La partie de la plaque non utilisée est représentée en quadrillé sur la figure 2. Calculer une valeur approchée au centième de la proportion de la plaque qui n’est pas utilisée.
3. Pour que la superposition des triangles soit harmonieuse, Joanna veut que les trois triangles AMD,PNM et PDN soient semblables. Démontrer que c’est bien le cas.
4. Joanna aimerait que le coefficient d’agrandissement pour passer du triangle PDN au triangle AMD soit plus petit que 1,5. Est-ce le cas ? Justifier.
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Bonsoir,
1) Montrer que [AM] mesure environ 3,46 m
On sait que le triangle ADM est rectangle en A.
➡️ [AD] = 2 m et angle (ADM) = 60°
Nous pouvons donc utiliser les formules de trigonométrie.
• tan(ADM) = côté opposé / côté adjacent ⇔ tan(ADM) = AM / AD
• AM = tan(ADM) × AD ⇔ AM = tan(60) × 2 = 2√3 cm ≈ 3,46 m ✅
2) Calculer une valeur approchée au centième de la proportion de la plaque qui n’est pas utilisée
Calculons l'aire de la plaque qui n'est pas utilisée, c'est à dire A(MBNC)
On peut établir que :
➡️ A(MBNC) = A(ABCD) - A(AMND)
Or A(ABCD) = L × l (car c'est un rectangle) = 4 × 2 = 8 m²
et A(AMND) = L × l (car c'est un rectangle) = 2√3 × 2 = 4√3 m²
Remarque : 4√3 m² ≈ 6,93 m² (nous travaillons avec les valeurs exactes).
Il en vient que :
• A(MNBC) = 8 - 4√3 ≈ 1,07 m²
On peut alors maintenant calculer la proportion P de la plaque non utilisée :
➡️ P = aire non utilisée / aire totale = ( 8 - 4√3) / 8 ≈ 0,13397 ≈ 0,13
La proportion de la plaque non utilisée est d'environ 0,13 soit ≈ 13% ✅
3) Démontrer que les triangles AMD, PNM et PDN soient semblables
➡️ Rappel : Deux triangles sont semblables, si les angles de l'un sont égaux aux angles de l'autre.
Montrons tout d'abord que PNM et PDN sont semblables :
• angle (MPN) = angle (MND) = 90°; de plus, l'angle (DMN) est commun aux triangles PNM et PDN, ils ont donc deux paires d'angles égaux et sont donc semblables.
• D'autre part, comme on est dans un rectangle (AMND) :
→ angle (DAM) = angle (MND) = angle (MPN) = 90°
→ angle (ADM) = angle (DMN) commun aux triangles PNM et PDM = 60°
➡️ Les trois triangles AMD, PNM et PDN ont 3 angles égaux les uns des autres et nous pouvons en conclure qu'ils sont bel et bien semblables ✅
4) Est ce que le coefficient d'agrandissement pour passer du triangle PDN au triangle AMD est plus petit que 1,5 ?
➡️ Pour calculer le coefficient d'agrandissement il faut calculer le rapport des valeurs des hypoténuses des triangles AMD et PDN.
• Coeff d'agrandissement = DM / DN
On sait que DN = 3,46 m, calculons DM.
D'après le théorème de Pythagore :
DM = √(DN² + NM²) = √(3,46² + 2²) ≈ 4 m
• Le coefficient d'agrandissement est de : 4/3,46 ≈ 1,16
➡️Il est bel et bien inférieur à 1,5 ✅
Bon courage et bonnes révisions !