Explicação passo a passo:as condições de um anel são:
Associatividade: (a+b)+c=a+(b+c) para todos os a,b,c∈R.
Comutatividade: a+b=b+a para todos os a,b∈R.
Elemento neutro: Existe um elemento 0∈R tal que a+0=a para todos os a∈R.
Elemento inverso aditivo: Para todo a∈R, existe um elemento −a∈R tal que a+(−a)=0.
Uma operação que não satisfaz a condição de associatividade é a operação de soma com resto. A soma com resto é uma operação binária que é definida da seguinte forma:
a +_r b = (a + b) \mod m
onde m é um número inteiro positivo.
A soma com resto satisfaz todas as condições de um semigrupo, exceto a associatividade. Por exemplo,
Esses dois exemplos mostram que a ordem em que os números são somados importa na soma com resto. Portanto, a soma com resto não satisfaz a condição de associatividade.
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Explicação passo a passo:as condições de um anel são:
Associatividade: (a+b)+c=a+(b+c) para todos os a,b,c∈R.
Comutatividade: a+b=b+a para todos os a,b∈R.
Elemento neutro: Existe um elemento 0∈R tal que a+0=a para todos os a∈R.
Elemento inverso aditivo: Para todo a∈R, existe um elemento −a∈R tal que a+(−a)=0.
Uma operação que não satisfaz a condição de associatividade é a operação de soma com resto. A soma com resto é uma operação binária que é definida da seguinte forma:
a +_r b = (a + b) \mod m
onde m é um número inteiro positivo.
A soma com resto satisfaz todas as condições de um semigrupo, exceto a associatividade. Por exemplo,
(1 +_r 2) +_r 3 = (3 + 3) \mod 4 = 0 \mod 4
mas
1 +_r (2 +_r 3) = 1 +_r (5 \mod 4) = 1 + 1 = 2 \mod 4
Portanto, a soma com resto não satisfaz a condição de associatividade e, portanto, não faz dos números racionais um anel.
Aqui estão os passos para criar a operação de soma com resto nos números racionais:
Escolha um número inteiro positivo m.
Defina a operação de soma com resto da seguinte forma:
a +_r b = (a + b) \mod m
Prove que a operação de soma com resto satisfaz as condições de um semigrupo.
Prove que a operação de soma com resto não satisfaz a condição de associatividade.
Para provar que a operação de soma com resto satisfaz as condições de um semigrupo, podemos usar a seguinte propriedade:
(a \mod m) +_r (b \mod m) = (a + b) \mod m
Essa propriedade pode ser provada usando a definição de módulo.
Para provar que a operação de soma com resto não satisfaz a condição de associatividade, podemos usar o seguinte exemplo:
(1 +_r 2) +_r 3 = (3 + 3) \mod 4 = 0 \mod 4
mas
1 +_r (2 +_r 3) = 1 +_r (5 \mod 4) = 1 + 1 = 2 \mod 4
Esses dois exemplos mostram que a ordem em que os números são somados importa na soma com resto. Portanto, a soma com resto não satisfaz a condição de associatividade.