Para criar uma operação nos números racionais de modo a não deixá-lo virar um anel, precisamos encontrar uma operação que não satisfaça as condições de um anel.
Relembrando, as condições de um anel são:
Associatividade: (a+b)+c=a+(b+c) para todos os a,b,c∈R.
Comutatividade: a+b=b+a para todos os a,b∈R.
Elemento neutro: Existe um elemento 0∈R tal que a+0=a para todos os a∈R.
Elemento inverso aditivo: Para todo a∈R, existe um elemento −a∈R tal que a+(−a)=0.
Uma operação que não satisfaz a condição de comutatividade é a operação de multiplicação com resto. A multiplicação com resto é uma operação binária que é definida da seguinte forma:
a \times_r b = (a \times b) \mod m
onde m é um número inteiro positivo.
A multiplicação com resto satisfaz todas as condições de um semigrupo, exceto a comutatividade. Por exemplo,
1 \times_r 2 = (1 \times 2) \mod 3 = 2 \mod 3
mas
2 \times_r 1 = (2 \times 1) \mod 3 = 2 \mod 3
Portanto, a multiplicação com resto não satisfaz a condição de comutatividade e, portanto, não faz dos números racionais um anel.
Aqui estão os passos para criar a operação de multiplicação com resto nos números racionais:
Escolha um número inteiro positivo m.
Defina a operação de multiplicação com resto da seguinte forma:
a \times_r b = (a \times b) \mod m
Prove que a operação de multiplicação com resto satisfaz as condições de um semigrupo.
Prove que a operação de multiplicação com resto não satisfaz a condição de comutatividade.
Para provar que a operação de multiplicação com resto satisfaz as condições de um semigrupo, podemos usar a seguinte propriedade:
(a \mod m) \times_r (b \mod m) = (a \times b) \mod m
Essa propriedade pode ser provada usando a definição de módulo.
Para provar que a operação de multiplicação com resto não satisfaz a condição de comutatividade, podemos usar o seguinte exemplo:
1 \times_r 2 = (1 \times 2) \mod 3 = 2 \mod 3
mas
2 \times_r 1 = (2 \times 1) \mod 3 = 2 \mod 3
Esses dois exemplos mostram que a ordem em que os números são multiplicados importa na multiplicação com resto. Portanto, a multiplicação com resto não satisfaz a condição de comutatividade.
Portanto, a resposta à sua pergunta é que uma operação nos números racionais que não satisfaça as condições de um anel é a multiplicação com resto.
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Para criar uma operação nos números racionais de modo a não deixá-lo virar um anel, precisamos encontrar uma operação que não satisfaça as condições de um anel.
Relembrando, as condições de um anel são:
Associatividade: (a+b)+c=a+(b+c) para todos os a,b,c∈R.
Comutatividade: a+b=b+a para todos os a,b∈R.
Elemento neutro: Existe um elemento 0∈R tal que a+0=a para todos os a∈R.
Elemento inverso aditivo: Para todo a∈R, existe um elemento −a∈R tal que a+(−a)=0.
Uma operação que não satisfaz a condição de comutatividade é a operação de multiplicação com resto. A multiplicação com resto é uma operação binária que é definida da seguinte forma:
a \times_r b = (a \times b) \mod m
onde m é um número inteiro positivo.
A multiplicação com resto satisfaz todas as condições de um semigrupo, exceto a comutatividade. Por exemplo,
1 \times_r 2 = (1 \times 2) \mod 3 = 2 \mod 3
mas
2 \times_r 1 = (2 \times 1) \mod 3 = 2 \mod 3
Portanto, a multiplicação com resto não satisfaz a condição de comutatividade e, portanto, não faz dos números racionais um anel.
Aqui estão os passos para criar a operação de multiplicação com resto nos números racionais:
Escolha um número inteiro positivo m.
Defina a operação de multiplicação com resto da seguinte forma:
a \times_r b = (a \times b) \mod m
Prove que a operação de multiplicação com resto satisfaz as condições de um semigrupo.
Prove que a operação de multiplicação com resto não satisfaz a condição de comutatividade.
Para provar que a operação de multiplicação com resto satisfaz as condições de um semigrupo, podemos usar a seguinte propriedade:
(a \mod m) \times_r (b \mod m) = (a \times b) \mod m
Essa propriedade pode ser provada usando a definição de módulo.
Para provar que a operação de multiplicação com resto não satisfaz a condição de comutatividade, podemos usar o seguinte exemplo:
1 \times_r 2 = (1 \times 2) \mod 3 = 2 \mod 3
mas
2 \times_r 1 = (2 \times 1) \mod 3 = 2 \mod 3
Esses dois exemplos mostram que a ordem em que os números são multiplicados importa na multiplicação com resto. Portanto, a multiplicação com resto não satisfaz a condição de comutatividade.
Portanto, a resposta à sua pergunta é que uma operação nos números racionais que não satisfaça as condições de um anel é a multiplicação com resto.