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Roosevelt, boa noite.

Para que a equação acima seja uma equação de circunferência, ela deve ter o seguinte formato:

Vamos procurar reescrever a equação do exercício de forma que ela possa ser agrupada e fatorada em quadrados perfeitos, e igualada a um outro quadrado perfeito, conforme o formato da equação de circunferência:

Portanto, a equação do exercício é a equação de uma circunferência de centro em (2,-4) e raio igual a 3.

A equação x² + y² - 4x + 8y + 11 = 0 é de uma circunferência com centro C = (2,-4) e raio 3.

A equação reduzida de uma circunferência é da forma (x - x₀)² + (y - y₀)² = r², sendo C = (x₀,y₀) o centro da circunferência e r a medida do raio.

Vamos escrever a equação x² + y² - 4x + 8y + 11 = 0 na forma descrita acima. Para isso, precisamos completar quadrado. Dito isso, temos que:

x² - 4x + 4 + y² + 8y + 16 = -11 + 4 + 16

(x - 2)² + (y + 4)² = 9.

Observe que a equação (x - 2)² + (y + 4)² = 9 está na forma (x - x₀)² + (y - y₀)² = r². Além disso, a medida r é positiva.

Portanto, podemos afirmar que a equação x² + y² - 4x + 8y + 11 = 0 representa uma circunferência.

Podemos também concluir que o centro da circunferência é o ponto C = (2,-4) e o seu raio é igual a r = 3.

A figura abaixo representa a circunferência encontrada.

Exercício sobre circunferência: brainly.com.br/tarefa/19767193