Os valores da abscissa x, tais que sua imagem pela função f(x) = ax + b é positiva são os elementos do conjunto

{x ∈ ℝ: x > − b/a, a > 0} ∪ {x ∈ ℝ: x < − b/a, a < 0}.

Função polinomial do primeiro grau (ou função afim)

     ⋄  Definição: Uma função f: D ⊆ ℝ ⟶ ℝ é chamada função polinomial de primeiro grau (ou função afim) se existem constantes reais a e b, a ≠ 0, tais que

     f(x) = ax + b

para todo x ∈ D.

As constantes a e b são os coeficientes da lei da função f, sendo

• a o coeficiente angular (ou taxa de variação média).
• b o coeficiente linear.

Domínio e conjunto imagem de uma função afim

     ⋄  Domínio:

Dada a lei de uma função afim, não existem restrições para os valores que a variável x pode assumir. Logo, caso nada for dito no enunciado, sempre consideramos que o domínio de qualquer função afim é todo o conjunto dos reais. Denotamos D(f) = ℝ.

     ⋄  Conjunto imagem:

É o conjunto de todos os valores que a função f assume, conforme x percorre os valores dos elementos do domínio.

Considere uma função afim cuja lei está em sua forma geral:

     f(x) = ax + b

Seja c um número real qualquer. Observe que se tomarmos em particular x = (c − b)/a, temos

     f(x) = f((c − b)/a)

     = a · ((c − b)/a) + b

     = (c − b) + b

     = c

Concluimos que todo número real é imagem de algum elemento do domínio pela função f. Portanto, o conjunto imagem da função afim é todo o conjunto dos reais. Denotamos Im(f) = ℝ.

Inequações polinomiais do primeiro grau

     ⋄  Definição: São todas as desigualdades que podem ser reduzidas a alguma das formas a seguir:

• f(x) < 0
• f(x) ≤ 0
• f(x) > 0
• f(x) ≥ 0

onde f é uma função afim.

Determinar os valores de x dado o sinal de f(x)

Considere f(x) = ax + b uma função afim. Queremos encontrar os valores de x tais que sua imagem por f é positiva, isto é

     f(x) > 0       (∗)

Substituindo a lei da função, obtemos

     ⟺   ax + b > 0

     ⟺   ax > − b       (∗∗)

Atenção! A solução da inequacao depende exclusivamente do sinal de a. Temos duas possibilidades:

• Caso (i): a > 0.

Se a é positivo, então 1/a também é positivo. Logo, ao multiplicarmos ambos os lados da Inequação (∗∗) por 1/a, o sentido da desigualdade se mantém:

     ⟹   (ax) · (1/a) > − b · (1/a)

     ⟺   x > − b/a       (∗∗∗)

• Caso (ii): a < 0.

Analogamente, se a é negativo, então 1/a também é negativo. Logo, ao multiplicarmos ambos os lados da Inequação (∗∗) por 1/a, o sentido da desigualdade se inverte:

     ⟹   (ax) · (1/a) < − b · (1/a)

     ⟺   x < − b/a       (∗∗∗∗)

O conjunto solução para a Inequação (∗) é a reunião das soluções para cada caso:

     ⟺   S = {x ∈ ℝ: x > − b/a, a > 0} ∪ {x ∈ ℝ: x < − b/a, a < 0}.

Dúvidas? Comente.

Bons estudosl :-)