Dados 11 números naturais diferentes, nenhum maior que 20, prove que podemos escolher dois deles tais que um divide o outro.
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BlackShot
May 2020 | 0 Respostas
(ENEM) Quando se dá uma pedalada na bicicleta abaixo (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de uma circunferência de raio R é igual a 2R, onde = 3.R.: aproximadamente 7,2 metros.IMAGEM:
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Olá GFerraz.Dados 11 números naturais diferentes, nenhum maior que 20, prove que podemos escolher dois deles tais que um divide o outro.
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Para esse problema iremos considerar a pior das hipóteses.
Sabendo que o maior número possível entre esses 11 distintos, seria o número 20. Então se eu pegar qualquer número que seja maior que a metade de 20, ou seja, 10, então o múltiplo desse número ultrapassaria o 20 (que é o maior número possível).
Por exemplo, pegando o 11, que é o número mais próximo da metade de 20, seu múltiplo mais próximo seria o 22, se pegássemos o 12, o múltiplo mais próximo seria o 24.
Portanto, se pegarmos qualquer número no intervalo [11, 20], não existirá nenhum múltiplo desse número menor que 20.
Então vamos definir 9 desses números no intervalo [11, 20]. Agora a questão será verificar se é possível escolher um número no intervalo [1, 10], que não tenha um múltiplo no intervalo [11, 20].
Pegando o menor desse número o 1, teríamos que qualquer número no intervalo [11, 20], seria divisível por ele (já que qualquer número é divisível por 1). Pegando o maior número nesse intervalo, o 10, seu menor múltiplo seria o 20.
Ou seja, se o maior e o menor múltiplo do intervalo [1, 10], será um número menor ou igual a 20 (o maior número possível), então se escolhermos um número qualquer no intervalo [1, 10], teremos seu um múltiplo garantindo no intervalo [11, 20].
Portanto, é possível escolher 2 números menores do que 20, tais que um divida o outro.
Dúvidas? comente.