Dados os vetores u= (1,1,0) e v=(-1,1,2) determinar : a) um vetot unitario simultaneamente ortogonal a U e V. b) um vetor de modulo 5simultaneamente ortogonal a U e V.
Vamos chamar esse vetor de x= (a,b,c) e se são ortogonais, então x · u e x · v deve ser igual a zero. x · u = (a,b,c) · (1,1,0) = a + b
x · v = (a,b,c) · (-1,1,2) = - a + b + 2c Se o vetor deve ser unitário, ou seja, de módulo igual a 1, então:
Perceba que, se a + b = 0, então: a = - b E com isso, na segunda equação: - a + b + 2c = 0
- ( - b) + b + 2c = 0
b + b + 2c = 0
2b + 2c = 0
2c = - 2b
c = - b
Se temos a² + b² + c² = 1, ficamos com:
a² + b² + c² = 1
( - b)² + b² + ( - b)² = 1
b² + b² + b² = 1
3b² = 1
b² = 1/3
b = 1/√3
Então o restante dos valores ficará:
a = - b
a = - 1/√3
c = - b
c = - 1/√3
Então o nosso vetor procurado é x = ( - 1/√3 , 1/√3 , - 1/√3 ) b)
Já temos um vetor ortogonal a u e v, só temos que fazê-lo ter módulo igual a 5, e para isso, é só multiplicá-lo por 5: 5 · ( - 1/√3 , 1/√3 , - 1/√3 ) = ( - 5/√3 , 5/√3 , - 5/√3) Então o vetor procurado é a = ( - 5/√3 , 5/√3 , - 5/√3)
Lista de comentários
Vamos chamar esse vetor de x = (a,b,c) e se são ortogonais, então x · u e x · v deve ser igual a zero.
x · u = (a,b,c) · (1,1,0) = a + b
x · v = (a,b,c) · (-1,1,2) = - a + b + 2c
Se o vetor deve ser unitário, ou seja, de módulo igual a 1, então:
Perceba que, se a + b = 0, então:
a = - b
E com isso, na segunda equação:
- a + b + 2c = 0
- ( - b) + b + 2c = 0
b + b + 2c = 0
2b + 2c = 0
2c = - 2b
c = - b
Se temos a² + b² + c² = 1, ficamos com:
a² + b² + c² = 1
( - b)² + b² + ( - b)² = 1
b² + b² + b² = 1
3b² = 1
b² = 1/3
b = 1/√3
Então o restante dos valores ficará:
a = - b
a = - 1/√3
c = - b
c = - 1/√3
Então o nosso vetor procurado é x = ( - 1/√3 , 1/√3 , - 1/√3 )
b)
Já temos um vetor ortogonal a u e v, só temos que fazê-lo ter módulo igual a 5, e para isso, é só multiplicá-lo por 5:
5 · ( - 1/√3 , 1/√3 , - 1/√3 ) = ( - 5/√3 , 5/√3 , - 5/√3)
Então o vetor procurado é a = ( - 5/√3 , 5/√3 , - 5/√3)
Até mais!