Encontrar a projeção de v sobre u.u=(1,2,_2) e v =(3,_2,1).... Pergunta de ideia deLuzyyeni

December 2019 1 124 Report

Encontrar a projeção de v sobre u.u=(1,2,_2) e v =(3,_2,1)

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avengercrawl Olá

$\vec{u}=(1, 2, -2)\\\\\vec{v}=(3, -2, 1)$

Podemos calcular a projeção de 'v' em 'u', a partir da seguinte fórmula

$\displaystyle Proj^{\vec{v}}_{\vec{u}}~=~ \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\vec{u}\cdot \vec{u}}\cdot \vec{u}$

Substituindo os vetores

$\displaystyle Proj^{\vec{v}}_{\vec{u}}~=~\mathsf{ \frac{(1, 2, -2)\cdot (3, -2, 1)}{(1, 2, -2)\cdot (1, 2, -2)}\cdot (1, 2, -2) }$

Faz o produto escalar no numerador e no denominador

$\displaystyle Proj^{\vec{v}}_{\vec{u}}~=~\mathsf{ \frac{1\cdot 3+2\cdot(-2)-2\cdot 1}{1\cdot1+2\cdot2-2\cdot(-2)}\cdot (1, 2, -2) }\\\\\\\\Proj^{\vec{v}}_{\vec{u}}~=~\mathsf{ \frac{3-4-2}{1+4+4}\cdot (1, 2, -2) }\\\\\\\\Proj^{\vec{v}}_{\vec{u}}~=~\mathsf{ -\frac{1}{3}\cdot (1, 2, -2) }
$

Agora multiplica o escalar -1/3 pelo vetor u

$\displaystyle Proj^{\vec{v}}_{\vec{u}}~=~\mathsf{ \left(-\frac{1}{3}\cdot 1,~-\frac{1}{3}\cdot 2,~- \frac{1}{3}\cdot (-2)\right) }\\\\\\\\\boxed{Proj^{\vec{v}}_{\vec{u}}~=~\mathsf{ \left(-\frac{1}{3},~-\frac{2}{3},~ \frac{2}{3}\right) }}\qquad\qquad\Longleftarrow\qquad\text{Esse e o vetor projecao}$

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