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PatrickAdler
@PatrickAdler
January 2020
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Determine a e b tais que x ^ 4 + 3x² + ax + b seja divisivel por x² +ax + 2?
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GabrielMagal1
Para que um polinômio seja divisível por outro ele deve ter entre suas raízes as raízes do polinômio divisor.
Sendo x₁ e x₂ as raízes de x²+ax+2 , temos :
1) x₁+x₂ = -a/1 = - a
2) x₁.x₂ = 2/1 = 2
Sendo x₁, x₂, x₃ e x₄ as raízes de x⁴+0x³+3x²+ax+b , pelas relações de Girard , temos :
1) x₁+x₂+x₃+x₄ = -0/1 = 0
(x₁+x₂)+x₃+x₄ = 0
-a+x₃+x₄ = 0
x₃+x₄ = a
2) x₁.x₂.x₃.x₄ = b/1 = b
(x₁x₂).x₃.x₄ = b
2x₃x₄ = b
x₃.x₄ = b/2
3) x₁x₂ + x₁x₃ + x₁x₄ + x₂x₃ + x₂x₄ + x₃x₄ = 3/1 = 3
(x₁x₂) + (x₁+x₂)(x₃+x₄) + (x₃x₄) = 3
2 + (-a).a + b/2 = 3
b/2 - a² = 1
4) x₁x₂x₃ + x₁x₂x₄ + x₁x₃x₄ + x₂x₃x₄ = -a/1 = -a
(x₁x₂).(x₃+x₄) + (x₁+x₂).(x₃x₄) = -a
2.a + (-a).b/2 = -a
3a = ab/2
3 = b/2
b = 3.2 = 6
Como b/2 - a² = 1 :
b/2 - a² = 1
6/2 - a² = 1
3 - a² = 1
a² = 2
a = √2
ou
a = -√2
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Sendo x₁ e x₂ as raízes de x²+ax+2 , temos :
1) x₁+x₂ = -a/1 = - a
2) x₁.x₂ = 2/1 = 2
Sendo x₁, x₂, x₃ e x₄ as raízes de x⁴+0x³+3x²+ax+b , pelas relações de Girard , temos :
1) x₁+x₂+x₃+x₄ = -0/1 = 0
(x₁+x₂)+x₃+x₄ = 0
-a+x₃+x₄ = 0
x₃+x₄ = a
2) x₁.x₂.x₃.x₄ = b/1 = b
(x₁x₂).x₃.x₄ = b
2x₃x₄ = b
x₃.x₄ = b/2
3) x₁x₂ + x₁x₃ + x₁x₄ + x₂x₃ + x₂x₄ + x₃x₄ = 3/1 = 3
(x₁x₂) + (x₁+x₂)(x₃+x₄) + (x₃x₄) = 3
2 + (-a).a + b/2 = 3
b/2 - a² = 1
4) x₁x₂x₃ + x₁x₂x₄ + x₁x₃x₄ + x₂x₃x₄ = -a/1 = -a
(x₁x₂).(x₃+x₄) + (x₁+x₂).(x₃x₄) = -a
2.a + (-a).b/2 = -a
3a = ab/2
3 = b/2
b = 3.2 = 6
Como b/2 - a² = 1 :
b/2 - a² = 1
6/2 - a² = 1
3 - a² = 1
a² = 2
a = √2
ou
a = -√2