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Vamos lá.

Veja, Intelec, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Determine os valores de "m" para que a equação "9x² + 12x + 2m = 0" se enquadre em cada situação abaixo:

a) Não admita raízes reais.

Veja, para que uma equação NÃO admita raízes reais, então o seu Δ (b²-4ac) deverá ser MENOR do que zero. Veja que o delta da equação dada é este: (12)² - 4*9*2m = 144 - 72m <---- Este é o delta da equação da sua questão. Como, para a situação do item "a", queremos que a equação dada NÃO tenha raízes reais, então vamos impor que o delta acima encontrado seja MENOR do que zero. Logo:

144 - 72m < 0 ------ passando "144" para o 2º membro, temos:

- 72m < - 144 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1" teremos (lembre-se: quando se multiplica uma desigualdade por "-1" o seu sentido muda: o que era "<" passa pra ">" e vice-versa):

72m > 144 ----- isolando "m", temos:

m > 144/72

m > 2 ------- Esta é a resposta para o item "a". Ou seja: para que a equação dada NÃO tenha raízes reais, então "m" deverá ser maior que "2".

b) Tenha 2 raízes reais e iguais.

Veja que a condição para que isso ocorra é que o Δ seja IGUAL a zero. Como já sabemos qual é o delta (144 - 72m) pois já havíamos calculado anteriormente, então, para esta situação, vamos impor que ele tenha que ser IGUAL a zero. Assim:

144 - 72m = 0 ----- passando "144" para o 2º membro, temos:

- 72m = - 144 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:

72m = 144

m = 144/72

m = 2 <--- Esta é a resposta para o item "b". Ou seja: para que a equação dada tenha duas raízes reais e iguais, então "m" deverá ser igual a "2".

c) Tenha duas raízes reais e diferentes.

Veja: para esta situação deveremos ter o Δ MAIOR do que zero. Como já sabemos qual é o Δ (144 - 72m), pois já calculamos antes, então vamos impor que ele seja MAIOR do que zero. Logo:

144 - 72m > 0 ---- passando "144' para o 2º membro, temos:

- 72m > - 144 ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos (lembre-se o que ocorre com uma desigualdade quando ela é multiplicada por "-1": o sentido muda):

72m < 144 ---- isolando "m" temos:

m < 144/72

m < 2 ----- Esta é a resposta para o item "c". Ou seja, para que a equação dada tenha duas raízes reais e diferentes, então "m" terá que ser menor do que "2".

d) Tenha o número "0,2" como uma raiz.

Veja: para isso, basta que substituamos por "0,2" o "x" da função dada [9x² + 12x + 2m = 0]. Assim, fazendo isso teremos:

9*(0,2)² + 12*0,2 + 2m = 0 ------ desenvolvendo, temos:

9*0,04 + 12*0,2 + 2m = 0 ---- continuando o desenvolvimento, temos:

0,36 + 2,40 + 2m = 0 ------ como "0,36+2,40 = 2,76", ficaremos:

2,76 + 2m = 0 ------ passando "2,76" para o 2º membro, temos:

2m = - 2,76 ---- isolando "m", teremos:

m = -2,76/2

m = - 1,38 <--- Esta é a resposta para o item "d". Ou seja: para que a equação tenha o número "0,2" como raiz, então "m" deverá ser igual a "-1,38".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.