O teorema de Stokes afirma que a integral da componente normal do rotacional de um campo vetorial F em uma superfície S é igual à integral da componente tangencial de F em torno do limite C de S.
O teorema de Stokes transforma uma integral de linha muito complexa em uma integral dupla muito mais simples de resolver. De acordo com o problema, devemos calcular a seguinte integral de linha usando o teorema de Stokes:
Onde C é a fronteira orientada da superfície que consiste na parte do cilindro [tex]\sf z~=~9-y^2[/tex] no primeiro octante que é limitado pelos planos coordenados e o pelo plano x = 2. De acordo com o teorema de Stokes para converter essa integral de linha em uma integral dupla devemos calcular o rotacional de F, se quisermos encontrar o rotacional de uma função do tipo F(x, y, z) devemos usar a expressão:
Como calculamos o rotacional da nossa função F(x, y, z) o próximo passo é calcular as derivadas parciais da função z = f(x, y), lembre-se que a função z = f(x, y) representa curva C, portanto, se calcularmos suas duas derivadas parciais, podemos dizer que nossos resultados são:
Portanto, com o resultado de ambas as derivadas parciais, podemos calcular o diferencial de superfíciedS. Para calcular o diferencial de superfície dS, vamos levar em conta que a orientação que estamos considerando é para baixo. Como a orientação é para baixo, podemos concluir que nossa integral de linha pelo teorema de Stokes se torna a seguinte integral dupla:
Vamos calcular o valor desta integral dupla, para realizar este cálculo devemos encontrar os respectivos limites de integração em relação às variáveis x e y. De acordo com o problema, um dos planos é x = 2, como estamos levando em conta apenas o primeiro octante nossos limites de integração são 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3, portanto devemos calcular a seguinte integral dupla:
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O teorema de Stokes afirma que a integral da componente normal do rotacional de um campo vetorial F em uma superfície S é igual à integral da componente tangencial de F em torno do limite C de S.
[tex]\boxed{\oint_C~\vec{F}\,\vec{dr}~=~\iint_S~\left(\nabla\times\vec{F}\right)\,\vec{dS}}[/tex]
O teorema de Stokes transforma uma integral de linha muito complexa em uma integral dupla muito mais simples de resolver. De acordo com o problema, devemos calcular a seguinte integral de linha usando o teorema de Stokes:
[tex]\displaystyle J~=~\oint_C~\vec{F}\,\vec{dr}~~,com~ \vec{F}\left(x,~y,~z\right)~=~\left(xy,~yz,~x^2\right)[/tex]
Onde C é a fronteira orientada da superfície que consiste na parte do cilindro [tex]\sf z~=~9-y^2[/tex] no primeiro octante que é limitado pelos planos coordenados e o pelo plano x = 2. De acordo com o teorema de Stokes para converter essa integral de linha em uma integral dupla devemos calcular o rotacional de F, se quisermos encontrar o rotacional de uma função do tipo F(x, y, z) devemos usar a expressão:
[tex]\nabla\times\vec{F}~=~\left(\dfrac{\partial R}{\partial y}~-~\dfrac{\partial Q}{\partial z}\right) \vec{\textbf{i}}~+~\left(\dfrac{\partial P}{\partial z}~-~\dfrac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{\textbf{j}}~+~\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}~-~\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{\textbf{k}} \\\\\\ \nabla\times\vec{F}~=~\left(\dfrac{\partial }{\partial y}x^2~-~\dfrac{\partial }{\partial z}yz\right) \vec{\textbf{i}}~+~\left(\dfrac{\partial }{\partial z}xy~-~\dfrac{\partial }{\partial x}x^2\right)\vec{\textbf{j}}~+~\left(\dfrac{\partial }{\partial x}yz~-~\dfrac{\partial }{\partial y}xy\right)\vec{\textbf{k}}\\\\\\\nabla\times\vec{F}~=~\left(0~-~y\right) \vec{\textbf{i}}~+~\left(0~-~2x\right)\vec{\textbf{j}}~+~\left(0~-~x\right)\vec{\textbf{k}}\\\\\\ \nabla\times\vec{F}~=~-~y\vec{\textbf{i}}~-~2x\vec{\textbf{j}}~-~x\vec{\textbf{k}}[/tex]
Como calculamos o rotacional da nossa função F(x, y, z) o próximo passo é calcular as derivadas parciais da função z = f(x, y), lembre-se que a função z = f(x, y) representa curva C, portanto, se calcularmos suas duas derivadas parciais, podemos dizer que nossos resultados são:
[tex]z_x~=~\dfrac{\partial}{\partial x}9-y^2\qquad\to\qquad z_x~=~0\\\\\\ z_y~=~\dfrac{\partial}{\partial y}9-y^2\qquad\to\qquad z_y~=~-2y[/tex]
Portanto, com o resultado de ambas as derivadas parciais, podemos calcular o diferencial de superfície dS. Para calcular o diferencial de superfície dS, vamos levar em conta que a orientação que estamos considerando é para baixo. Como a orientação é para baixo, podemos concluir que nossa integral de linha pelo teorema de Stokes se torna a seguinte integral dupla:
[tex]\displaystyle J~=~\iint_S~\left(-~y \vec{\textbf{i}}~-~2x\vec{\textbf{j}}~-~x\vec{\textbf{k}}\right)\cdot\left(0\vec{\textbf{i}}~-~2y\vec{\textbf{j}}~-~\vec{\textbf{k}}\right)\,dxdy\\\\\\ \displaystyle J~=~\iint_S~4xy~+~x\,dxdy[/tex]
Vamos calcular o valor desta integral dupla, para realizar este cálculo devemos encontrar os respectivos limites de integração em relação às variáveis x e y. De acordo com o problema, um dos planos é x = 2, como estamos levando em conta apenas o primeiro octante nossos limites de integração são 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 3, portanto devemos calcular a seguinte integral dupla:
[tex] \displaystyle J~=~\int^3_0 \int^2_0~4xy~+~x\,dxdy\\\\\\ \displaystyle J~=~\left.\int^3_0 ~2x^2y~+~\dfrac{x^2}{2}\right|^2_0\,dy\\\\\\ \displaystyle J~=~\int^3_0 ~2\cdot 2^2 y~+~2\,dy\\\\\\\displaystyle J~=~\int^3_0 ~8y~+~2\,dy\\\\\\\displaystyle J~=~\left.\vphantom{\displaystyle \int}4y^2~+~2y\right|^3_0\\\\\\ J~=~4\cdot3^2~+~2\cdot 3\\\\\\ \boxed{\sf J~=~42}~~\Rightarrow~Letra~E[/tex]