O tempo médio de reação de um motorista (tempo que decorre entre perceber um perigo súbito e aplicar os freios) é da ordem de 0,7 s. Um carro com bons freios, numa estrada seca, pode ser freado a a 6 m/s². Calcule a distância mínima que um carro percorre depois que o motorista avista o perigo, quando ele trafega a 30 km/h, a 60 km/h e a 90 km/h.
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Resposta:
O problema pode ser resumido desta forma: Ao avistar o perigo, o motorista leva 0,7 s até acionar os freios. Neste intervalo de tempo, o carro se desloca em movimento uniforme. Em seguida, passa a se deslocar em movimento uniformemente variado, à aceleração constante de [tex]a = -6\,\,m/s^2[/tex], até parar completamente.
Resolvamos inicialmente o problema geral para uma [tex]v_0[/tex] qualquer.
Seja [tex]x_1[/tex] a posição final do carro após o primeiro trecho do deslocamento, i.e., antes de se acionarem os freios. Calculemo-la:
[tex]x_1 = x_0 + v_0\cdot t_1\\\\\Longleftrightarrow x_1 = 0 + v_0 \cdot 0,7\\\\\Longleftrightarrow \boxed{x_1 = 0,7\cdot v_0}[/tex]
Em seguida, o motorista aciona os freios do veículo. Calculemos o tempo necessário para o veículo parar:
[tex]v = v_0 + a\cdot t_2\\\\\Longleftrightarrow 0 = v_0 - 6\cdot t_2\\\\\Longleftrightarrow \boxed{t_2 = \frac{v_0}{6}}[/tex]
Calculemos agora a posição final do veículo:
[tex]x_f = x_1 + v_0\cdot t_2 + \big{\frac{1}{2}\cdot a \cdot (t_2)^2 }\\\\\Longleftrightarrow x_f = 0,7\cdot v_0 + v_0 \cdot \big{\frac{v_0}{6}} + \big{\frac{1}{2} }\cdot \left(-6\right) \cdot \big{\left(\frac{v_0}{6} \right)^2}\\\\\Longleftrightarrow x_f = 0,7\cdot v_0 + \big{\frac{1}{6} }\cdot v_0^2 - \big{\frac{1}{12} }\cdot v_0^2\\\\\Longleftrightarrow \boxed{x_f = 0,7\cdot v_0 + \big{\frac{1}{12} }\cdot v_0^2}[/tex]
Obtivemos, assim, a função que associa a velocidade inicial [tex]v_0[/tex] ao deslocamento total do veículo.
Resolvamos o problema para as três velocidades iniciais dadas:
[tex]i)\,\,\,v_0 = 30\,\,km/h \approx 8,33\,\,m/s:\\\\x_f = 0,7\cdot 8,33 + \big{\frac{1}{12}} \cdot 8,33^2\\\\\Longleftrightarrow \boxed{\boxed{x_f = 11,6\,\,m.}}[/tex]
[tex]ii)\,\,\,v_0 = 60\,\,km/h \approx 16,67\,\,m/s:\\\\x_f = 0,7\cdot 16,67 + \big{\frac{1}{12}} \cdot 16,67^2\\\\\Longleftrightarrow \boxed{\boxed{x_f = 34,8\,\,m.}}[/tex]
[tex]iii)\,\,\,v_0 = 90\,\,km/h = 25 \,\,m/s:\\\\x_f = 0,7\cdot 25 + \big{\frac{1}{12}} \cdot 25^2\\\\\Longleftrightarrow \boxed{\boxed{x_f = 69,6\,\,m.}}[/tex]