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Resposta:

Ao se lançar uma bolinha para cima num tubo a vácuo, sua posição, em função do tempo, será dada por:

[tex]y(t) = y_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2.[/tex]

Sabemos que a posição da bolinha é [tex]z[/tex] quando [tex]t = t_1.[/tex]

Assim:

[tex]z = y_0 + v_0t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2\\\\\Longleftrightarrow v_0t_1 = z - y_0 + \frac{1}{2}gt_1^2\\\\\Longleftrightarrow v_0 = \frac{2z -2y_0 + gt_1^2}{2t_1}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)[/tex]

Sabemos ainda que sua posição também é [tex]z[/tex] quando [tex]t = t_2.[/tex]

Logo:

[tex]z = y_0 + v_0t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2\\\\\Longleftrightarrow v_0t_2 = z - y_0 + \frac{1}{2}gt_2^2\\\\\Longleftrightarrow v_0 = \frac{2z -2y_0 + gt_2^2}{2t_2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II)[/tex]

Igualando [tex](I)[/tex] a [tex](II)[/tex], temos:

[tex]\frac{2z -2y_0 + gt_1^2}{2t_1} = \frac{2z -2y_0 + gt_2^2}{2t_2}\\\\\Longleftrightarrow t_2\left(2z - 2y_0 + gt_1^2 \right) = t_1 \left(2z - 2y_0 + gt_2^2 \right)\\\\\Longleftrightarrow 2zt_2 - 2y_0t_2 + gt_1^2t_2 = 2zt_1 - 2y_0t_1 + gt_2^2t_1\\\\[/tex]

[tex]\Longleftrightarrow gt_1^2t_2 - gt_2^2t_1 = 2zt_1 - 2y_0t_1 - 2zt_2 + 2y_0t_2\\\\\Longleftrightarrow g \left(t_1^2t_2 - t_2^2t_1 \right) = 2t_1 (z-y_0) - 2t_2(z - y_0)\\\\ \Longleftrightarrow g (t_1t_2)(t_1 - t_2) = (2t_1 - 2t_2)(z - y_0)\\\\[/tex]

[tex]\Longleftrightarrow g = \frac{2(t_1 - t_2)(z - y_0)}{t_1t_2(t_1 - t_2)}\\\\\Longleftrightarrow g = \frac{2(z-y_0)}{t_1t_2}[/tex]

Consideremos que a bolinha parte da origem, isto é, [tex]y_0 = 0.[/tex]

Assim:

[tex]\Longleftrightarrow g = \frac{2(z - 0)}{t_1t_2}\\\\\Longleftrightarrow \boxed{g = \frac{2z}{t_1t_2}}[/tex]

Q.E.D.