Hey!
J'aurais besoin d'aide pour cet exercice d'un dm de maths:
1. Trouver un entier naturel n qui n'admet pas d'autres diviseurs premiers que 2 et 3 tel que n^2 admet 3 fois plus de diviseurs dans N que n.
2. Trouver un nombre entier naturel qui s'écrit cabc (il y a une barre sur cabc) dans le système de numération à base cinq et aba (pareil, il y a une barre dessus) dans le système de numération à base huit.
Toute trace de réponse pourrait m'aider, merci d'avance :D
Bonne journée
J'aurais besoin d'aide pour cet exercice d'un dm de maths:
1. Trouver un entier naturel n qui n'admet pas d'autres diviseurs premiers que 2 et 3 tel que n^2 admet 3 fois plus de diviseurs dans N que n.
2. Trouver un nombre entier naturel qui s'écrit cabc (il y a une barre sur cabc) dans le système de numération à base cinq et aba (pareil, il y a une barre dessus) dans le système de numération à base huit.
Toute trace de réponse pourrait m'aider, merci d'avance :D
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Bonjour,1) ∈N et n'admet pas d'autres diviseurs premiers que 2 et 3
⇒ n = 2ᵃ x 3ᵇ avec a et b ∈ N
n a alors (a + 1)(b + 1) diviseurs (ça se démontre, je ne sais pas si tu as vu ça comme un théorème admis)
On a alors N = n² = (2ᵃ x 3ᵇ)² = 2²ᵃ x 3²ᵇ
N a donc (2a + 1)(2b + 1) diviseurs
On veut : (2a + 1)(2b + 1) = 3(a + 1)(b + 1)
⇔ 4ab + 2a + 2b + 1 = 3ab + 3a + 3b + 3
⇔ ab - a - b - 2 = 0
⇔ a(b - 1) = b + 2
⇔ a = (b + 2)/(b - 1) et b ≠ 1
⇔ a = (b - 1 + 3)/(b -1)
⇔ a = (b - 1)/(b - 1) + 3/(b - 1)
⇔ a = 1 + 3/(b - 1)
⇒ (b - 1) divise 3
⇒ b - 1 = 1 ⇒ b = 2
ou b - 1 = 3 ou b = 4
⇒ a = (b + 2)(b - 1) = 4
ou a = 6/3 = 2
Donc n = 2⁴ x 3² ou n = 2² x 3⁴
On peut vérifier que :
.144 a 15 diviseurs et 144² = 20736 en a 45.
. 324 a 15 diviseurs et 324² = 104976 en a 45.
Enfin si on s'ennuie....
2)
cabc en base 5 = c + 5b + 25a+ 125c = 25a + 5b + 126c
aba en base 8 = a + 8b + 64a = 65a + 8b
⇒ 25a + 5b + 126c = 65a + 8b
⇔ 40a + 3b = 126c
0 ≤ a, b et c ≤ 4 ⇒ on va étudier tous les cas de c = 0 à c = 4
c = 0 ⇒ 40a + 3b = 0 ⇒ a = b = 0
Soit 0 base 5 = 0 base 8
c = 1 ⇒ 40a + 3b = 126
⇔ a = (126 - 3b)/40 = (120 + 6 - 3b)/40 = 3 + (6 - 3b)/40
6 - 3b divisible par 40 ⇒ 6 - 3b = 0 ⇒ b = 2
⇒ a = 3
Donc solution a = 3 b = 2 c = 1
c = 2 ⇒ 40a + 3b = 252
⇒ a = ... = 6 + (12 - 3b)/40 ⇒ b = 4 ⇒ a = 6 impossible (a<5)
c = 3 ⇒ 40a + 3b = 378
⇒ a = ... = 9 + (18 - 3b)/40 > 9 donc impossible (a < 5)
c = 4 ⇒ idem impossible
Donc 1 solution a = 3 b = 2 et c = 1
soit en base 5 : 1321
en base 8 : 323
en base 10 : 211