k=1

Explicação passo-a-passo:

x'+x"=-b/a

x'+x"=-(-5)/1

x'+x"= 5

_____________________

x"=4x'

_____________________

x'+4x'=5

5x'=5

x'=5/5

x'= 1 ( primeira raiz )

_____________________

x"=4x'

x"=4.(1)

x"= 4 ( segunda raiz )

_____________________

Substituindo umas das raízes :

x² - 5x + ( K + 3 ) = 0

(1)²-5.(1)+(k+3)=0

1-5= -k -3

-4=-k-3

k= -3+4

k= 1

Verified answer

a) k = 1 ✓

________________________________

• RESOLUÇÃO

x² - 5x + ( K + 3 ) = 0

a = 1

b = -5

c = k + 3

Vamos adotar as seguintes incógnitas no lugar das raízes:

[tex]\begin{cases}\sf~x_1 = y\\\\\sf~x_2=z\end{cases}[/tex]

[tex]\sf~y+z=\frac{-b}{a}\\\\\sf~y+z=\frac{-(-5)}{1}\\\\\sf~y+z=5~\checkmark\textsf{$\underline{Equac_{\!\!,}\tilde{a}o~1}$}[/tex]

[tex]\sf~y\cdot\,\!z=\frac{c}{a}\\\\\sf~y\cdot\,\!z=\frac{k+3}{1}\\\\\sf~y\cdot\,\!z=k+3~\checkmark\textsf{$\underline{Equac_{\!\!,}\tilde{a}o~2}$}[/tex]

Como anunciado afirma que uma das raízes é o quádruplo da outra, temos que:

[tex]\sf~z=4\cdot\,\!y~\checkmark\textsf{$\underline{Equac_{\!\!,}\tilde{a}o~3}$}[/tex]

Agora, vamos substituir a equação 3 na equação 1

[tex]\sf~z+y=5\\\\\sf4y+y=5\\\\\sf5y=5\\\\\sf~y=\frac{5}{5}\\\\\sf~y=1~\checkmark[/tex]

Agora, substituiremos o valor de y na equação 2:

[tex]\sf~y\cdot\,\!z=k+3\\\\\sf~y\cdot4y=k+3\\\\\sf4y^2=k+3\\\\\sf4\cdot1^2=k+3\\\\\sf4\cdot1=k+3\\\\\sf4=k+3\\\\\sf~k+3=4\\\\\sf~k=4-3\\\\\boxed{\sf~k=1}~\checkmark[/tex]

✨ [tex]\Large\mathscr{\blue{Per:~Dan}}[/tex] ✨