Pour montrer que le vecteur QC est égal à 3QJ, nous allons utiliser les propriétés des vecteurs et les relations entre les points du triangle ABC.

Étant donné que le vecteur BP est égal à 1/3 du vecteur BC, nous pouvons écrire :

vecteur BP = 1/3 * vecteur BC

Cela signifie que le vecteur BC peut être exprimé comme :

vecteur BC = 3 * vecteur BP

Maintenant, considérons le point J d'intersection de (AC) et de la parallèle à (BQ) passant par B. La droite (BQ) est parallèle à la droite (JC) puisqu'elles sont toutes les deux parallèles à la droite (AC).

Puisque les droites (BQ) et (JC) sont parallèles, nous pouvons appliquer le théorème de Thalès aux segments BC et CJ.

Selon le théorème de Thalès, si une droite est tracée parallèlement à un côté d'un triangle, les segments qu'elle forme avec les deux autres côtés sont proportionnels.

Dans notre cas, nous pouvons écrire :

vecteur CJ / vecteur BC = QJ / QB

En remplaçant vecteur BC par 3 * vecteur BP, nous avons :

vecteur CJ / (3 * vecteur BP) = QJ / QB

Multiplions maintenant les deux côtés de l'équation par 3 :

3 * vecteur CJ / (3 * vecteur BP) = 3 * QJ / QB

Simplifions la fraction de gauche :

vecteur CJ / vecteur BP = 3 * QJ / QB

Nous savons que vecteur CJ / vecteur BP est égal à 3 car vecteur BC = 3 * vecteur BP. Ainsi, nous obtenons :

3 = 3 * QJ / QB

Multiplions maintenant les deux côtés de l'équation par QB :

3 * QB = 3 * QJ

Divisons les deux côtés de l'équation par 3 :

QB = QJ

Cela signifie que le segment QB est égal au segment QJ.

Maintenant, si nous considérons le triangle QCJ, nous pouvons voir que le segment QC est égal à 3 fois le segment QJ.

Donc, nous avons montré que vecteur QC = 3QJ.

Ainsi, le vecteur QC est égal à 3QJ.