Observe a equação a seguir: Para que essa equação não tenha raízes reais, a seguinte condição deve .... Pergunta de ideia dePopeye1

December 2019 1 24 Report

Observe a equação a seguir:

$x^2-4m^2x+m^2=0$

Para que essa equação não tenha raízes reais, a seguinte condição deve ser satisfeita

$a)- \dfrac{1}{2} \ \textless \ m\ \textless \ \dfrac{1}{2}$

$b) m \neq 1$

$c) m \ \textless \ - \dfrac{1}{2}$

$d)- \dfrac{1}{2} \ \textless \ m\ \textless \ 0\ ou\ 0\ \textless \ m\ \textless \ \dfrac{1}{2}$

$e)\ m \neq 1\ e\ -\dfrac{1}{2} \ \textless \ m\ \textless \ \dfrac{1}{2}$

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DanJR

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Olá Popeye1!!

Uma equação de grau 2 não admite raízes reais quando o valor do discriminante é MENOR que zero. Isto posto, fazemos:

$\displaystyle \mathsf{\Delta < 0} \\\\ \mathsf{(- 4m^2)^2 - 4 \cdot (1) \cdot (m^2) < 0} \\\\ \mathsf{16m^4 - 4m^2 < 0} \\\\ \mathsf{4m^2(4m^2 - 1) < 0 \qquad \div(4} \\\\ \mathsf{m^2(4m^2 - 1) < 0}$

Estudemos o sinal da desigualdade acima.

Quanto ao factor m², podemos desconsiderá-lo, afinal, ele será sempre positivo e isto não irá interferir no sinal da inequação. Segue,

Quanto ao segundo factor, devemos determinar suas raízes e estudar seu sinal. Daí,

___+____(- 1/2)____-_____(1/2)____+____

Como o sinal da desigualdade é MENOR "pegamos" o MENOS...

Portanto, concluímos que

$\boxed{\mathsf{- \frac{1}{2} < m < \frac{1}{2}, \, \forall m \in \mathbb{R}}}$

é a resposta que procurávamos!

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popeye1 Não entendi a parte final, quando você desconsiderou o m²

DanJR Nos campo dos reais, m² é sempre positivo. Assim, ele não altera o sinal da desigualdade em questão.

popeye1 Mas de onde saiu o 1/2?

DanJR Mas, se quiseres incluí-lo não tem problema, pois o conjunto-solução da inequação-produto será a intersecção entre todos os m's (1ª factor) e o intervalo do segundo factor.

DanJR 4m² - 1 < 0 <=> (2m + 1)(2m - 1) < 0 <=> ...

popeye1 ah, agora entendi.. Obrigado

DanJR Por nada!

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