Vamos resolver essa questão utilizando indução. Primeiramente, vamos definir como um número de n dígitos formado apenas pelos algarismos 2 e 5 que seja divisível por .
Para n=1, encontramos facilmente que é o único número divisível por .
Agora, vamos considerar que existe um número que atende à definição de . Queremos mostrar que, então, existe um número .
Como os algarismos de são apenas 2 ou 5, temos que:
Além disso, sabemos que , então pode ser escrito como , com . Então:
A partir deste ponto, podemos analisar apenas a paridade de :
⇒ Se é par, temos que, em (i), representa a soma de dois números pares e, portanto, também é um número par, isto é, é da forma . Então:
Com isso, obtemos divisível por .
⇒ Se é ímpar, temos que, em (ii), representa a soma de dois números ímpares, resultando em um número par, isto é, um número da forma . Assim:
Com isso, obtemos divisível por .
Desse modo, encontramos que, se existe , podemos acrescentar um algarismo 2 ou 5 à sua "frente" e obter um número que atende às definições de , o que conclui a indução.
Com isso, temos que é verdade para todos os naturais a partir de n=1, inclusive para o caso citado de .
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Vamos resolver essa questão utilizando indução. Primeiramente, vamos definir como um número de n dígitos formado apenas pelos algarismos 2 e 5 que seja divisível por .Para n=1, encontramos facilmente que é o único número divisível por .
Agora, vamos considerar que existe um número que atende à definição de . Queremos mostrar que, então, existe um número .
Como os algarismos de são apenas 2 ou 5, temos que:
Além disso, sabemos que , então pode ser escrito como , com . Então:
A partir deste ponto, podemos analisar apenas a paridade de :
⇒ Se é par, temos que, em (i), representa a soma de dois números pares e, portanto, também é um número par, isto é, é da forma . Então:
Com isso, obtemos divisível por .
⇒ Se é ímpar, temos que, em (ii), representa a soma de dois números ímpares, resultando em um número par, isto é, um número da forma . Assim:
Com isso, obtemos divisível por .
Desse modo, encontramos que, se existe , podemos acrescentar um algarismo 2 ou 5 à sua "frente" e obter um número que atende às definições de , o que conclui a indução.
Com isso, temos que é verdade para todos os naturais a partir de n=1, inclusive para o caso citado de .