Q. 18 ► O mostrador de um relógio foi projetado na forma de um decágono (polígono de 10 lados) regul.... Pergunta de ideia deH2OH

Lukyo

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O decágono pode ser decomposto em dez triângulos isósceles, cuja base é um lado do decágono. (Veja figura em anexo com o triângulo).

Na figura, o ângulo $\theta$ tem medida igual à metade de um dos ângulos internos do decágono regular:

$\theta=\dfrac{A_i}{2}\\\\\\ \theta=\dfrac{180^\circ-\frac{360^\circ}{10}}{2}\\\\\\ \theta=\dfrac{180^\circ-36^\circ}{2}\\\\\\ \theta=\dfrac{144^\circ}{2}\\\\\\ \theta=72^\circ$

• Encontrando a altura $h$ do triângulo isósceles:

$\dfrac{h}{4}=\mathrm{tg\,}\theta\\\\\\ h=4\,\mathrm{tg\,}\theta\\\\ h=4\,\mathrm{tg\,}72^\circ\\\\ h\approx 4\cdot 3,077\\\\ h\approx 4\cdot 3,078\\\\ \boxed{\begin{array}{c}h\approx 12,\!31\mathrm{~cm} \end{array}}$

•   Encontrando a área de um triângulo equilátero:

$A_{\triangle}=\dfrac{b\cdot h}{2}\\\\\\ A_{\triangle}=\dfrac{8\cdot 4\,\mathrm{tg\,}72^\circ}{2}\\\\\\ A_{\triangle}=\dfrac{32\cdot\mathrm{tg\,}72^\circ}{2}\\\\\\ A_{\triangle}=16\,\mathrm{tg\,}72^\circ\mathrm{~cm^2}$

•   Como o decágono é composto por dez triângulos idênticos ao da figura em anexo, a área total do mostrador é

$A=10\cdot A_{\triangle}\\\\ A=10\cdot 16\,\mathrm{tg\,}72^\circ\\\\ A=160\,\mathrm{tg\,}72^\circ\\\\ A\approx 160\cdot 3,\!078$

$\boxed{\begin{array}{c}A\approx 492,42\mathrm{~cm^2} \end{array}}$    <——— esta é a resposta.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

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Lukyo Caso tenha problemas para visualizar a resposta, experimente abrir pelo navegador: http://brainly.com.br/tarefa/7248640

H2OH Valeu ^^

H2OH Só uma dúvida, esse resultado precisaria aproximar? Ou não?

Lukyo 72° não é um dos arcos notáveis.. o seu valor é obtido por tabela ou pela calculadora...

Lukyo valor aproximado*

Lukyo A forma não aproximada seria deixar A = 160 tg 72°

H2OH Ok

decioignacio S = pa onde "p" ⇒ semi perímetro e "a"⇒ apótema decágono
a = ___l___ onde "α" ângulo central que subtende lado decágono
   2tg(α/2)
α ⇒ ângulo de 36° ⇒ (360°/10 = 36°)
a = ___l___ onde "l" ⇒ lado do decágono
      2tg18°
a = ____8__ ⇒ a = __8__ ⇒ a ≈ 12,3107
   2×0,3249 0,6498
S = 40×12,3107 ⇒ S = 492,4293cm²

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H2OH Amigo poderia explicar melhor? Não entendi

H2OH Tendi valeu.

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