Qual o valor de a.... Pergunta de ideia deKjmaneiro

December 2019 1 143 Report

Qual o valor de a

$\log_{9a} \sqrt{27} = \frac{1}{2}$

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ArthurPDC Incialmente, vamos colocar as restrições impostas pelo logaritmo. Como $9a$ é a base de um log, devemos ter: $9a\ \textgreater \ 0\Longrightarrow a\ \textgreater \ 0$ e $9a\neq1\Longrightarrow a\neq\dfrac{1}{9}$ .

Vamos manipular a expressão dada:

$\log_{9a}\sqrt{27}=\dfrac{1}{2}\\\\
\log_{9a}(27)^{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}~~~~~~~~\overline{\underline{\text{Propriedade:}~\log_b (a^N)=N\cdot \log_b a}}\\\\
\dfrac{1}{2}\cdot \log_{9a}(27)=\dfrac{1}{2}\\\\
\log_{9a}(27)=1$

Agora, vamos a aplicar a definição da função logaritmo, qual seja:

$\log_b a=x\Longrightarrow b^x=a$

Assim:

$\log_{9a}(27)=1\\\\
(9a)^1=27\\\\
9a=27\\\\
a=\dfrac{27}{9}\\\\
\boxed{a=3}$

Como esse valor obtido atende às restrições verificadas no início da resolução, temos que, de fato, a=3.