Questão 11) Um lago é formado por dois círculos tangentes externas de Raios 14m e 2m uma ponte de ma.... Pergunta de ideia deJhonyudsonbr

Comentários (10) $Boa \ tarde, \ \bold{Jhonyudsonbr}.$

$Vamos \ considerar \ o \ \Delta OO'P \ \Rightarrow \\
\\
Lei \ do \ Cosseno \ para \ o \ \^angulo \ O\widehat{O'}P \ \longrightarrow$

$OP^2 \ = \ OO'^2 \ + \ O'P^2 \ - \ 2 \ \cdot \ OO' \ \cdot \ O'P \ \cdot \ cos(O\widehat{O'}P) \ \rightarrow \\
\\
OP \ \rightarrow \ Raio \ de \ 14 \ m; \\
OO' \ \rightarrow \ Soma \ dos \ raios \ : \ (14 + 2) \ = \ 16 \ m; \\
\\
14^2 \ = \ 16^2 \ + \ O'P^2 \ - \ 2 \ \cdot \ 16 \ \cdot \ O'P \ \cdot \ cos(O\widehat{O'}P) \ \rightarrow \\
\\ 
32 \ \cdot \ O'P \cdot \ cos(O\widehat{O'}P) \ = \ 256 \ - \ 196 \ + \ OP'^2 \rightarrow \\
\\
$

$\boxed{cos(O\widehat{O'}P) \ = \ \frac{60 \ + \ OP'^2}{32 \ \cdot \ O'P}}$

$Agora, \ trace \ o \ \Delta OO'A \ \Rightarrow \\
\\
\rightarrow \ O'A \ = \ (AP \ + \ O'P) \ = \ \boxed{(4 \ + \ O'P)} \ ; \\
\\
\rightarrow \ OO' \ = \ 16 \ m; \\
\\
\rightarrow \ OA \ = \ Raio \ de \ 14 \ m.$

$Antes, \ observe \ que \ o \ \^angulo \ O\widehat{O'}P \ = \ O\widehat{O'}A. \\ \\ Por \ isso, \ cos(O\widehat{O'}P) \ = \ \ cos(O\widehat{O'}A) \ = \ \frac{60 \ + \ OP'^2}{32 \ \cdot \ O'P}$

$Ok, \ agora \ Lei \ do \ Cosseno \ para \ o \ \^angulo \ O\widehat{O'}A \ \longrightarrow \\
\\
OA^2 \ = \ OO'^2 \ + \ O'A^2 \ - \ 2 \ \cdot \ OO' \ \cdot \ O'A \ \cdot \ cos(O\widehat{O'}A) \ \rightarrow \\
\\
14^2 \ = \ 16^2 \ + \ (4 \ + \ O'P)^2 \ - \ \not{2} \ \cdot \ \not{16} \ \cdot \ (4 \ + \ O'P) \ \cdot \ \Big(\frac{60 \ + \ OP'^2}{\not{32} \ \cdot \ O'P}\Big) \ \\
\\
196 \ = \ 256 \ + \ (4 \ + \ O'P)^2 \ - \ \frac{(4 \ + \ O'P) \ \cdot \ (60 \ + \ OP'^2)}{O'P} \ \rightarrow \\
\\
$

$\frac{(4 \ + \ O'P) \ \cdot \ (60 \ + \ OP'^2)}{O'P} \ = \ 60 \ + \ (4 \ + \ O'P)^2 \ \rightarrow \\
\\
\frac{240 \ + \ 4 \ \cdot \ O'P^2 \ + \ 60 \ \cdot \ O'P \ + \ O'P^3}{O'P} \ = \ 60 \ + \ 16 \ + \ 8 \ \cdot \ O'P \ + \ \cdot \ O'P^2 \ \\
\\
240 \ + \ 4 \ \cdot \ O'P^2 \ + \ 60 \ \cdot \ O'P \ + \ O'P^3 \ = \ \\
60 \ \cdot \ O'P \ + \ 16 \ \cdot \ O'P \ + \ 8 \ \cdot \ O'P^2 \ + \ \cdot \ O'P^3 \ \rightarrow \\
\\
'Cortando' : \\
\\
$

$240 \ + \ 4 \ \cdot \ O'P^2 \ = \ 16 \ \cdot \ O'P \ + \ 8 \ \cdot \ O'P^2 \ \rightarrow \\
\\
60 \ + \ O'P^2 \ = \ 4 \ \cdot \ O'P \ + \ 2 \ \cdot \ O'P^2 \ \rightarrow \\
\\
\boxed{O'P^2 \ + \ 4 \ \cdot \ O'P \ - \ 60\ = 0} \ \rightarrow \\
\\
Por \ \Delta \ e \ Bh\'askara, \ achamos : \\
\\
\rightarrow \ O'P \ = \ - \ 10 \ m \ \Rightarrow \ N\~ao \ serve! \ (medida, \ O'P \ \ \textgreater \ \ 0); \\
\\
\boxed{\boxed{\rightarrow \ O'P \ = \ 6 \ m}} \ \Rightarrow \ Serve!$

$Por \ fim, \ a \ ponte \ \'e : \\
\\
AB \ = \ AP \ + \ O'P \ + \ O'B \ \rightarrow \\
\\
AB \ = \ 4 \ + \ 6 \ + \ 2 \ \rightarrow \\
\\
\boxed{\boxed{AB \ = \ 12 \ m}} \ \longrightarrow \ Comprimento \ da \ ponte! \\
\\
\bold{(Alternativa \ '(A)').}$

2 votes Thanks 2

jhonyudsonbr Pitágoras seria uma solução também ??

jhonyudsonbr verdade não tinha pensado nisso !!

jhonyudsonbr mesmo assim ficou muito boa a resolução,eu estava nesse exercício desde ontem kkkk!!

jhonyudsonbr tinha travado .

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