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Explicação passo-a-passo:

Para resolver a EDO y" + y' - 3y = 0;

com y(0) = 2 e y'(0) = 7, utilize:

y = e^(rx)

y' = r*e^(rx)

y" = (r^2)*e^(2rx),

deste modo, substitua por r^2 + r - 3r^0 = 0 e resolva a equação do segundo grau pelo método desejado (fórmula quadrática, soma e produto ou completando quadrado):

r^2 + r - 3 = 0

r^2 + r = 3

r^2 + r + 1/4 = 3 + 1/4

r^2 + r + 1/4 = 13/4

(r + 1/2)^2 = 13/4

sqrt((r + 1/2)^2) = sqrt(13/4)

|r + 1/2| = sqrt(13)/2

r' + 0.5 = 1.8

r' = 1.8 - 0.5

r' = 1.3 (aproximadamente)

r" + 0.5 = -1.8

r" = -1.8 - 0.5

r" = -2.3 (aproximadamente)

Para Delta positivo, usa-se f(x) = C1*e^(r'x) + C2*e^(r"x), substituia as raízes encontradas r' e r":

f(x) = C1*e^(1.3x) + C2*e^(-2.3x), agora, com y(0) = 2;

f(0) = C1*e^(1.3*0) + C2*e^(-2.3*0)

2 = C1 + C2;

para f'(x) = (C1*e^(1.3x) + C2*e^(-2.3x))';

f'(x) = 1.3*C1*e^(1.3x) - 2.3*C2*e^(-2.3x);

com y'(0) = 7, temos;

7 = 1.3*C1*e^(1.3*0) - 2.3*C2*e^(-2.3*0)

7 = 1.3C1 - 2.3C2

Para determinar as duas constantes, monte um sistema de equação:

(i) 2 = C1 + C2

(ii) 7 = 1.3C1 - 2.3C2, resolva-o pelo método mais conveniente;

Método da substituição:

(i) -1.3C1 - 1.3C2 = -2.6

(ii) 1.3C1 - 2.3C2 = 7

-3.6C2 = 4.5

C2 = -4.5/3.6

C2 = -1.25

para encontrar C1, substitua C2 em qualquer uma equação do sistema;

C1 + C2 = 2

C1 - 1.25 = 2

C1 = 2 + 1.25

C1 = 3.25

Portanto, as constantes pertencentes a EDO

y" + y' - 3y = 0 são C1 = 3.25 e C2 = -1.25