São dados A (3, -1), B (1, 1) e C (5, 5). a) Calcule o perímetro do triângulo ABC. b) Mostre que ABC.... Pergunta de ideia deThiagosq1

December 2019 1 106 Report

São dados A (3, -1), B (1, 1) e C (5, 5).
a) Calcule o perímetro do triângulo ABC.
b) Mostre que ABC é um triângulo retângulo.

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Comentários O perímetro desse triângulo será a soma das distâncias AB, AC e BC.

A fórmula que permite calcular a distância entre dois pontos no plano é:

$\displaystyle D = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

Então vamos definir essas três distâncias individualmente:

med (AB):

$\displaystyle D = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

$\displaystyle D = \sqrt{(3-1)^2+(- 1-1)^2}$

$\displaystyle D = \sqrt{4+4}$

$\displaystyle D = \sqrt[]{8} = 2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{2} }$

med (AC):

$\displaystyle D = \sqrt{(3-5)^2+(-1-5)^2}$

$\displaystyle D = \sqrt{(-2)^2+(-6)^2}$

$\displaystyle D = \sqrt{4+36}$

$\displaystyle D = \sqrt{40} = 2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{10}$

med (BC):

$\displaystyle D = \sqrt{(1-5)^2+(1-5)^2}$

$\displaystyle D = \sqrt{16 + 16}$

$\displaystyle D = \sqrt{32} = 4 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{2}$

Portanto, o perímetro será:

$\displaystyle p = 2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{2} + 2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{10} + 4 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{2}$

$\displaystyle p = 6 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{2} + 2 \hspace{0,07cm} \sqrt[]{10}$

Um triângulo é retângulo quando satisfaz o teorema de Pitágoras, ou seja, o quadrado do maior lado desse triângulo deve ser igual a soma dos quadrados de seus catetos:

h² = a² + b²
(√40)² = (√32)² + (√8)²
40 = 32 + 8
40 = 40

Como a igualdade se fez verdadeira, concluímos que o triângulo é retângulo.

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